当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年１１月１７日付け）
ａ、ｂ、ｃ は、０でない実係数とする。２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 ・・・ (1) において、
ａ＋ｃ＝ｂ のとき、(1)の１つの解は、−１であることを示せ。
（答） いくつかの解法が考えられる。
（因数定理の利用） Ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ とおくと、 Ｆ（−１）＝ａ−ｂ＋ｃ＝０
よって、 ２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 は、−１を解に持つ。
（組立除法の利用） （ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ）÷（ｘ＋１） の余りは、 ａ＋ｃ−ｂ
条件より、 ａ＋ｃ−ｂ＝０ なので、ｘ＋１ で割り切れる。
よって、 ２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 は、−１を解に持つ。
（因数分解の利用） ａ＋ｃ＝ｂ より、
ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝ａｘ2＋（ａ＋ｃ）ｘ＋ｃ＝ａｘ（ｘ＋１）＋ｃ（ｘ＋１）＝（ａｘ＋ｃ）（ｘ＋１）＝０
よって、 ２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 は、−１を解に持つ。
（解の公式の利用） ２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 について、ａ＋ｃ＝ｂ より、
判別式 Ｄ＝ｂ2−４ａｃ＝（ａ＋ｃ）2−４ａｃ＝（ａ−ｃ）2
よって、解の公式より、 ｘ＝｛−ａ−ｃ±（ａ−ｃ）｝/２ａ＝−ｃ/ａ 、−１
従って、２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0 は、−１を解に持つ。