当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年２月７日付け）
任意の関数φ(ｘ)のｘのかわりに複素数 ｘ+ｙｉ (ｘ、ｙは実数、ｉ は虚数単位)を入れて
φ(ｘ+ｙｉ)=f(ｘ，ｙ)+ｉ・g(ｘ，ｙ)
となったとすれば、曲線群 f(ｘ，ｙ)=a、g(ｘ，ｙ)=b (ａ、ｂは任意定数)は直交することを証明せ
よ。
（答） φ(ｘ+ｙｉ)が正則関数とすれば、コーシー・リーマンの方程式より、
fｘ＝gｙ 、 fｙ＝−gｘ
曲線群 f(ｘ，ｙ)=a、g(ｘ，ｙ)=b の交点Ｐにおける接線の傾きはそれぞれ、
−fｘ/fｙ 、 −gｘ/gｙ
このとき、 （−fｘ/fｙ）（−gｘ/gｙ）＝（gｙ/gｘ）（−gｘ/gｙ）＝−１ なので、
曲線群 f(ｘ，ｙ)=a、g(ｘ，ｙ)=b は直交する。