複素数のn乗5
当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
(平成25年12月14日付け)
等式 z+z2+z3+z4=(実数) を満たす複素数zを求めなさい。ただし、0<argz≦π/2。
(答) らすかるさんが考察されました。(平成25年12月14日付け)
z=a+bi (a≧0、 b>0)を代入して整理すると、
z+z2+z3+z4=(a4-6a2b2+b4+a3-3ab2+a2-b2+a) + {4a3+3a2+2a+1-(4a+1)b2}b・i
これが実数になるためには、 4a3+3a2+2a+1-(4a+1)b2=0
すなわち、 b=√{(4a3+3a2+2a+1)/(4a+1)} であればよい。
例えば、a=2 のとき、b=7/3 となり、z=2+(7/3)i ならば、 z+z2+z3+z4=-8840/81 となっ
て条件を満たしている。
よって、答えは、 z=t+i√{(4t3+3t2+2t+1)/(4t+1)} (t は負でない任意の実数)