当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年９月８日付け）
複素数 ｚ＝cos(4/3)π+ｉ・sin(4/3)πにおいて、ｚｎ＝ｚ をみたす自然数ｎ(1≦ｎ≦8)をすべ
て求めよ。
（答） ＧＡＩ さんより解答を頂きました。（平成２４年９月１０日付け）
ｚｎ＝ｚ ⇔ ｚn-1＝1 から、
cos(4(n-1)π/3)＋ｉ・sin(4(n-1)π/3)＝1＝cos(2kπ)＋ｉ・sin(2kπ) （k：整数)
よって、 4(n-1)π/3＝2kπ から、 1≦ｎ＝3k/2＋１≦8
これを満たすｎは、 k＝0 のとき、 1
k＝2 のとき、 4
k＝4 のとき、 7
以上から、ｎ＝1、4、7
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年９月１０日付け）
GAIさん、ありがとうございます。自分の場合は…
ｚ＝cos(4/3)π＋i・sin(4/3)πなので、
ｚ2＝cos(8/3)π＋i・sin(8/3)π＝cos(2/3)π＋i・sin(2/3)π
ｚ3＝cos(4π)＋i・sin(4π)＝1
ｚ4＝cos(16/3)π＋i・sin(16/3)π＝cos(4/3)π＋i・sin(4/3)π
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と、ｚは、３回掛けるごとに同じ値が繰り返される。これを、ｎが１〜８までを全て調べると、
ｚ1＝ｚ4＝ｚ7＝ｚ 、ｚ2＝ｚ5＝ｚ8≠ｚ 、ｚ3＝ｚ6＝１≠ｚ
となるので、ｚn＝ｚ が成り立つｎの値は、1、4、7