複素数の値　　　 　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年８月１０日付け）

　ｘ = -1＋i　のとき、ｘ⁴＋ｘ³＋5ｘ²＋2ｘ＋20 の値を求めよ。







































（答）　 ｘ = -1＋i　なので、　ｘ² = -2-2i　、ｘ³=8　、ｘ⁴=-8＋8i

　　　よって、

　　　ｘ⁴＋ｘ³＋5ｘ²＋2ｘ＋20 = (-8＋8i)＋8＋5( -2-2i)＋2(-1＋i)＋20 = 8


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年８月１０日付け）

　多項式環のideal ＜ｘ+1-I*，-ｘ⁴-ｘ³-5ｘ²-2ｘ+ｙ-20＞が<ｙ-8，ｘ+1-I*>から、ｙ は8だ
と、ideal論履修済の學生が　即座に発想を隠匿せず答えた。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２４年８月１１日付け）

　私の好きな解き方は、

　ｘ = -1＋i　より、（ｘ + 1）² = （i）²　から、ｘ² = -2ｘ-4

　このとき、　ｘ⁴＋ｘ³＋5ｘ²＋2ｘ＋20

　　　　　　　= (-2ｘ-4)²+(-2ｘ-4)ｘ+5(-2ｘ-4)+2ｘ+20 = 2ｘ²+4ｘ+16 = 2(-2ｘ-4)+4ｘ+16 = 8


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年８月１１日付け）

　S(H)さん、らすかるさん、解答ありがとうございます。この問題は、代入する値を

ｘ = -1＋i　としていますので、以下のようにもできます。

　3乗して1になる数のうち、虚数であるものの1つである、(-1＋i)/2をωとすると、ｘ = 2ω

　これを、ｘ⁴＋ｘ³＋5ｘ²＋2ｘ＋20　に代入すると

　16ω⁴＋8ω³＋5・4ω²＋2・2ω＋20 = 16ω⁴＋8ω³＋20ω²＋4ω＋20・・・・(1)

ここで、ωの性質から、ω³=1、ω²＋ω＋1=0　より、(1)の式は

　16ω³・ω＋8ω³＋20ω＋4ω＋20 = 20(ω²＋ω＋1)＋8 = 20・0＋8 = 8


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年８月１０日付け）

　参考：行列による解法


　攻略法さんから別解をいただきました。（平成２５年５月１５日付け）

（別解）　ｘ=2（cos120°+ｉ・sin120°）　より、

ｘ²=2²（cos240°+ｉ・sin240°）=4（cos240°+ｉ・sin240°）=-2-2i

ｘ³=2³（cos360°+ｉ・sin360°）=8

ｘ⁴=2⁴（cos480°+ｉ・sin480°）=16（cos120°+ｉ・sin120°）=-8+8i

　よって、　ｘ⁴＋ｘ³＋5ｘ²＋2ｘ＋20 = 8　　（終）