複素数と絶対値　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月１８日付け）
　次の性質をもつ複素数 z[1]、z[2]、z[3] を求めよ。

　|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|、z[1]・z[2]＋z[2]・z[3]＋z[3]・z[1]=0、z[1]・z[2]・z[3]=1






































（答）　 {z[1]、z[2]、z[3]}={1、(-1+)/2、(-1-)/2}


　よおすけさんから解答を頂きました。（平成２４年６月２０日付け）

　長らく分からなかったのですが、この朝、解法を思いだしたので書きます。

　z[1]・z[2]・z[3]=1　より、|z[1]・z[2]・z[3]|=1　すなわち、|z[1]|・|z[2]|・|z[3]|=1

また、|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|　より、|z[1]|=|z[2]|=|z[3]|=1

　それぞれを２乗しても、|z[1]|²=|z[2]|²=|z[3]|²=1

　|z|²=z・conjgz　より、

　　|z[1]|²・|z[2]|²・|z[3]|²=z[1]・z[2]・z[3]・conjgz[1]・conjgz[2]・conjgz[3]=1

　z[1]・z[2]・z[3]=1より、conjgz[1]・conjgz[2]・conjgz[3]=1

　このとき、

　z[1]・z[2]＋z[2]・z[3]＋z[3]・z[1]

=1/(conjgz[1]・conjgz[2])＋1/(conjgz[2]・conjgz[3])＋1/(conjgz[3]・conjgz[1])

=(conjg[1]＋conjgz[2]＋conjgz[3])/(conjgz[1]・conjgz[2]・conjgz[3])=0

　よって、conjgz[1]＋conjgz[2]＋conjgz[3]=0

　なお、上の条件から、z・conjgz=1より、conjgz=1/z、z=1/conjgz　が成り立つので、

z[1]＋z[2]＋z[3]=0　も成り立つ。

　したがって、z[1]=z[2]=z[3]=a　とおくと、これは、a についての三次方程式 a³-1=0 の3つの

根である。a³-1=0 を解くと、a=1、(-1+i√3)/2、(-1-i√3)/2。

　以上から、{z[1]、z[2]、z[3]}={1、(-1+i√3)/2、(-1-i√3)/2}