複素数のｎ乗　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰ読者のよおすけさんより、「複素数のｎ乗」問題を頂きました。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１２月３１日付け）

　座標平面上の点(，−１)に対応する複素数を、９回かけ合わせた複素数を求めよ。





































（答）　 座標平面上の点(，−１)に対応する複素数は、−ｉ　（ｉ は虚数単位）と書ける。

　　　このｎ乗を計算する場合、通常極形式で表すのが定石である。何故ならば、複素数の
　　　ｎ乗の計算には、次のド・モアブルの公式が有効だからである。

　　　　　　（ｃｏｓθ＋ｉ・ｓｉｎθ）^ｎ＝ｃｏｓ(ｎθ)＋ｉ・ｓｉｎ(ｎθ)

　　　　ここで、　−ｉ ＝２（ｃｏｓ（π/６）−ｉ・ｓｉｎ（π/６））　なので、

　　　　　（−ｉ ）⁹＝２⁹（ｃｏｓ（３π/２）−ｉ・ｓｉｎ（３π/２））＝５１２・ｉ

　　　となる。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年１月２日付け）

　ｘｙ 平面上の点（ａ，ｂ）と複素数 ａ＋ｂ・ｉ は、１対１に対応する。

　　A∈Hom[R²，R²]　Ａ：（ａ，ｂ）　----->　ａ＋ｂ・ｉ

　MatrixPower[{{Sqrt[3], 1}, {-1, Sqrt[3]}}, 9] 　を、「Wolfram|Alpha」に挿入して、「５１２ｉ」を

得る。


　よおすけさんが、行列を用いた方法を考察されました。（平成２４年１月２０日付け）

　座標平面上の点(，-1)に対応する複素数は、+(-1)ｉ　から、-ｉ

　これに対応する行列は、単位行列Eと、（1，2）成分が-1、（2，1）成分が1、他は0 の行列J

を用いて、　E-J　となる。原点の周りの角θの回転を表す行列をＲ（θ）とすると、

　　E-J　= 2Ｒ（-π/6）

　この行列を、9回掛けると、　（E-J）⁹ = 2⁹Ｒ（-9π/6） = 512Ｒ（-3π/2） = 512J

　単位行列Jは、複素数の世界では虚数単位 ｉ に対応するので、求める値は、５１２・ｉ


　よおすけさんからの続報です。（平成２５年１月８日付け）

　−ｉ の９乗を計算するだけなら以下でもできます。

　　　(−ｉ)⁹＝((−ｉ)³)³　と考えると、３乗の展開公式を用いて、

　　　　　　(−ｉ)³＝−８ｉ　iより、　 (−ｉ)⁹＝(−８ｉ)³＝５１２ｉ


　攻略法さんから別解をいただきました。（平成２５年５月１５日付け）

（別解）　-ｉ=2（cos(-30°)+ｉ・sin(-30°)）　より、

　　　　　　2⁹（cos(-270°)+ｉ・sin(-270°)）=512ｉ　　（終）