当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ａｔ」さんからの出題です。
（平成２４年８月１９日付け）
Nを９以上の任意の正整数とします。N個の整数 １、 ２、 … 、 N のそれぞれを３色の中の
１色で着色し、３色のどの色も N/４ 個より多くの整数に用いられるようにします。
このとき、上述の条件を満たすようにどのように着色しようとも、等式 ｘ ＝ ｙ ＋ ｚ を満たす
３つの整数 ｘ、ｙ、ｚ で、３つの数に用いられた色がすべて異なるものが存在することを示し
てください。
（答） 一般の場合を示すのは難しそうなので、とりあえず、Ｎ＝９ の場合を調べる。このと
き、条件から、９個の整数 １、 ２、 … 、 ９ は３個ずつ３色に着色されている。
示すべきことは、どんな着色がしてあっても、必ず、等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ を満たす３つの整
数 ｘ、ｙ、ｚ で、３つの数に用いられた色がすべて異なるものが存在するということである。
今、３色に色別された３つずつの数の組を
Ａ（ａ＜ｂ＜ｃ） 、Ｂ（ｄ＜ｅ＜ｆ） 、Ｃ（ｇ＜ｈ＜ｉ）
とおく。一般性を失うことなく、ａ＝１であるとしてよい。
ここで、 １＋２＝３、１＋３＝４、１＋４＝５、１＋５＝６、１＋６＝７、１＋７＝８、１＋８＝９
なる等式が７個ある。従って、「１」と同組になる２数（ｂ、ｃ）を除いても、等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ
が成り立つ場合は５通りある。
そこで、一般性を失うことなく、ｆ＜ｉ としてよい。Ａ組からは、「１」を選ぶとして、
１＋ｆ＝ｇ または １＋ｆ＝ｈ または １＋ｆ＝ｉ
ならば題意を満たしている。問題は、１＋ｆ＝ｂ または １＋ｆ＝ｃ となる場合である。
何れにしても、等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ が成り立つ場合は４通り残る。
このとき、１＋ｅ を考えると、可能性は、ｂ、ｃ、ｆ の３通りを除き少なくともＣ組に属する数
ｘを用いて、１＋ｅ＝ｘ となりえる。
すなわち、 等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ を満たす３つの整数 ｘ、ｙ、ｚ で、３つの数に用いられた色が
すべて異なるものが存在する
（コメント） 証明になっているかな？
攻略法さんからのコメントです。（平成２４年８月２２日付け）
証明ではありませんが、問題文を理解するために、数え上げてみました。
３つの色を、{０，１，２}とする。
N≧９ という条件であるが、３色のどの色も[N/4]＋１個以上の整数に用いられるという条
件を活かして、Ｎ＝３、６、７ の場合について数え上げてみた。
N＝３ の場合、[N/４]＋１＝１ より、３色が１個ずつなので、色の塗り方は、
３！/(１！１！１！)＝６ （通り）
1 2 3 (y,z,x) （ただし、ｙ＜ｚ）
1: 0 1 2 (1,2,3) 1通り
2: 0 2 1 (1,2,3) 1通り
3: 1 0 2 (1,2,3) 1通り
4: 1 2 0 (1,2,3) 1通り
5: 2 0 1 (1,2,3) 1通り
6: 2 1 0 (1,2,3) 1通り
このとき、どのような色の塗り分けがされていようと、等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ を満たす３つの整数
ｘ、ｙ、ｚ で、３つの数に用いられた色がすべて異なるものが確かに存在している。
N＝６ の場合、[N/４]＋１＝２ より、３色が２個ずつなので、色の塗り方は、
６！/(２！２！２！)＝９０ （通り）
1 2 3 4 5 6 (y,z,x) （ただし、ｙ＜ｚ）
1: 0 0 1 1 2 2 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
2: 0 0 1 2 1 2 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
3: 0 0 1 2 2 1 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) 4通り
4: 0 0 2 1 1 2 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) 4通り
5: 0 0 2 1 2 1 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
6: 0 0 2 2 1 1 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
7: 0 1 0 1 2 2 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
8: 0 1 0 2 1 2 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
9: 0 1 0 2 2 1 (1,5,6) (2,3,5) 2通り
10: 0 1 1 0 2 2 (2,4,6) 1通り
11: 0 1 1 2 0 2 (1,3,4) 1通り
12: 0 1 1 2 2 0 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
13: 0 1 2 0 1 2 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
14: 0 1 2 0 2 1 (1,2,3) (1,5,6) 2通り
15: 0 1 2 1 0 2 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) 3通り
16: 0 1 2 1 2 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
17: 0 1 2 2 0 1 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
18: 0 1 2 2 1 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
19: 0 2 0 1 1 2 (1,5,6) (2,3,5) 2通り
20: 0 2 0 1 2 1 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
21: 0 2 0 2 1 1 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
22: 0 2 1 0 1 2 (1,2,3) (1,5,6) 2通り
23: 0 2 1 0 2 1 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
24: 0 2 1 1 0 2 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
25: 0 2 1 1 2 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
26: 0 2 1 2 0 1 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) 3通り
27: 0 2 1 2 1 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
28: 0 2 2 0 1 1 (2,4,6) 1通り
29: 0 2 2 1 0 1 (1,3,4) 1通り
30: 0 2 2 1 1 0 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
31: 1 0 0 1 2 2 (2,4,6) 1通り
32: 1 0 0 2 1 2 (1,3,4) 1通り
33: 1 0 0 2 2 1 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
34: 1 0 1 0 2 2 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
35: 1 0 1 2 0 2 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
36: 1 0 1 2 2 0 (1,5,6) (2,3,5) 2通り
37: 1 0 2 0 1 2 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) 3通り
38: 1 0 2 0 2 1 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
39: 1 0 2 1 0 2 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
40: 1 0 2 1 2 0 (1,2,3) (1,5,6) 2通り
41: 1 0 2 2 0 1 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
42: 1 0 2 2 1 0 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
43: 1 1 0 0 2 2 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
44: 1 1 0 2 0 2 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
45: 1 1 0 2 2 0 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) 4通り
46: 1 1 2 0 0 2 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) 4通り
47: 1 1 2 0 2 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
48: 1 1 2 2 0 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
49: 1 2 0 0 1 2 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
50: 1 2 0 0 2 1 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
51: 1 2 0 1 0 2 (1,2,3) (1,5,6) 2通り
52: 1 2 0 1 2 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
53: 1 2 0 2 0 1 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
54: 1 2 0 2 1 0 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) 3通り
55: 1 2 1 0 0 2 (1,5,6) (2,3,5) 2通り
56: 1 2 1 0 2 0 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
57: 1 2 1 2 0 0 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
58: 1 2 2 0 0 1 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
59: 1 2 2 0 1 0 (1,3,4) 1通り
60: 1 2 2 1 0 0 (2,4,6) 1通り
61: 2 0 0 1 1 2 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
62: 2 0 0 1 2 1 (1,3,4) 1通り
63: 2 0 0 2 1 1 (2,4,6) 1通り
64: 2 0 1 0 1 2 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
65: 2 0 1 0 2 1 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) 3通り
66: 2 0 1 1 0 2 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
67: 2 0 1 1 2 0 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
68: 2 0 1 2 0 1 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
69: 2 0 1 2 1 0 (1,2,3) (1,5,6) 2通り
70: 2 0 2 0 1 1 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
71: 2 0 2 1 0 1 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
72: 2 0 2 1 1 0 (1,5,6) (2,3,5) 2通り
73: 2 1 0 0 1 2 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
74: 2 1 0 0 2 1 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
75: 2 1 0 1 0 2 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
76: 2 1 0 1 2 0 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) 3通り
77: 2 1 0 2 0 1 (1,2,3) (1,5,6) 2通り
78: 2 1 0 2 1 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
79: 2 1 1 0 0 2 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
80: 2 1 1 0 2 0 (1,3,4) 1通り
81: 2 1 1 2 0 0 (2,4,6) 1通り
82: 2 1 2 0 0 1 (1,5,6) (2,3,5) 2通り
83: 2 1 2 0 1 0 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
84: 2 1 2 1 0 0 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
85: 2 2 0 0 1 1 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
86: 2 2 0 1 0 1 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
87: 2 2 0 1 1 0 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) 4通り
88: 2 2 1 0 0 1 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) 4通り
89: 2 2 1 0 1 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
90: 2 2 1 1 0 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
このとき、どのような色の塗り分けがされていようと、等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ を満たす３つの整数
ｘ、ｙ、ｚ で、３つの数に用いられた色がすべて異なるものが確かに存在している。
N＝７ の場合、[N/４]＋１＝２ より、２個ずつが同色、３個が残りの色。色の塗り方は、
３・７！/(３！２！２！)＝６３０ （通り）
このうち、色０の個数を３つとして色の塗り方 ７！/(３！２！２！)＝２１０（通り）を調べると、
1 2 3 4 5 6 7 (y,z,x) （ただし、ｙ＜ｚ）
1: 0 0 0 1 1 2 2 (1,5,6) (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) 4通り
2: 0 0 0 1 2 1 2 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (3,4,7) 4通り
3: 0 0 0 1 2 2 1 (1,4,5) (1,6,7) (2,4,6) (2,5,7) 4通り
4: 0 0 0 2 1 1 2 (1,4,5) (1,6,7) (2,4,6) (2,5,7) 4通り
5: 0 0 0 2 1 2 1 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (3,4,7) 4通り
6: 0 0 0 2 2 1 1 (1,5,6) (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) 4通り
7: 0 0 1 0 1 2 2 (1,5,6) (2,5,7) (3,4,7) 3通り
8: 0 0 1 0 2 1 2 (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) (3,4,7) 4通り
9: 0 0 1 0 2 2 1 (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
10: 0 0 1 1 0 2 2 (2,4,6) 1通り
11: 0 0 1 1 2 0 2 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
12: 0 0 1 1 2 2 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
13: 0 0 1 2 0 1 2 (1,3,4) (1,6,7) (2,4,6) 3通り
14: 0 0 1 2 0 2 1 (1,3,4) (1,6,7) 2通り
15: 0 0 1 2 1 0 2 (1,3,4) (1,4,5) (2,5,7) 3通り
16: 0 0 1 2 1 2 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (3,4,7) 4通り
17: 0 0 1 2 2 0 1 (1,3,4) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
18: 0 0 1 2 2 1 0 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) (3,4,7) 5通り
19: 0 0 2 0 1 1 2 (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
20: 0 0 2 0 1 2 1 (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) (3,4,7) 4通り
21: 0 0 2 0 2 1 1 (1,5,6) (2,5,7) (3,4,7) 3通り
22: 0 0 2 1 0 1 2 (1,3,4) (1,6,7) 2通り
23: 0 0 2 1 0 2 1 (1,3,4) (1,6,7) (2,4,6) 3通り
24: 0 0 2 1 1 0 2 (1,3,4) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
25: 0 0 2 1 1 2 0 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) (3,4,7) 5通り
26: 0 0 2 1 2 0 1 (1,3,4) (1,4,5) (2,5,7) 3通り
27: 0 0 2 1 2 1 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (3,4,7) 4通り
28: 0 0 2 2 0 1 1 (2,4,6) 1通り
29: 0 0 2 2 1 0 1 (1,4,5) (2,3,5) 2通り
30: 0 0 2 2 1 1 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
31: 0 1 0 0 1 2 2 (1,5,6) (2,4,6) 2通り
32: 0 1 0 0 2 1 2 (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
33: 0 1 0 0 2 2 1 (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
34: 0 1 0 1 0 2 2 (2,5,7) (3,4,7) 2通り
35: 0 1 0 1 2 0 2 (1,4,5) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
36: 0 1 0 1 2 2 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
37: 0 1 0 2 0 1 2 (1,6,7) (2,5,7) 2通り
38: 0 1 0 2 0 2 1 (1,6,7) (3,4,7) 2通り
39: 0 1 0 2 1 0 2 (1,4,5) (2,4,6) 2通り
40: 0 1 0 2 1 2 0 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
41: 0 1 0 2 2 0 1 (2,3,5) (2,4,6) (3,4,7) 3通り
42: 0 1 0 2 2 1 0 (1,5,6) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
43: 0 1 1 0 0 2 2 (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) 3通り
44: 0 1 1 0 2 0 2 (3,4,7) 1通り
45: 0 1 1 0 2 2 0 (2,4,6) (2,5,7) 2通り
46: 0 1 1 2 0 0 2 (1,3,4) (2,4,6) (2,5,7) 3通り
47: 0 1 1 2 0 2 0 (1,3,4) (3,4,7) 2通り
48: 0 1 1 2 2 0 0 (1,3,4) (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) 4通り
49: 0 1 2 0 0 1 2 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
50: 0 1 2 0 0 2 1 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) (3,4,7) 5通り
51: 0 1 2 0 1 0 2 (1,2,3) 1通り
52: 0 1 2 0 1 2 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
53: 0 1 2 0 2 0 1 (1,2,3) (3,4,7) 2通り
54: 0 1 2 0 2 1 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,5,7) 3通り
55: 0 1 2 1 0 0 2 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
56: 0 1 2 1 0 2 0 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) (3,4,7) 4通り
57: 0 1 2 1 2 0 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (2,5,7) (3,4,7) 5通り
58: 0 1 2 2 0 0 1 (1,2,3) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
59: 0 1 2 2 0 1 0 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
60: 0 1 2 2 1 0 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
61: 0 2 0 0 1 1 2 (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
62: 0 2 0 0 1 2 1 (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
63: 0 2 0 0 2 1 1 (1,5,6) (2,4,6) 2通り
64: 0 2 0 1 0 1 2 (1,6,7) (3,4,7) 2通り
65: 0 2 0 1 0 2 1 (1,6,7) (2,5,7) 2通り
66: 0 2 0 1 1 0 2 (2,3,5) (2,4,6) (3,4,7) 3通り
67: 0 2 0 1 1 2 0 (1,5,6) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
68: 0 2 0 1 2 0 1 (1,4,5) (2,4,6) 2通り
69: 0 2 0 1 2 1 0 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
70: 0 2 0 2 0 1 1 (2,5,7) (3,4,7) 2通り
71: 0 2 0 2 1 0 1 (1,4,5) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
72: 0 2 0 2 1 1 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,5,7) 3通り
73: 0 2 1 0 0 1 2 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) (3,4,7) 5通り
74: 0 2 1 0 0 2 1 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
75: 0 2 1 0 1 0 2 (1,2,3) (3,4,7) 2通り
76: 0 2 1 0 1 2 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,5,7) 3通り
77: 0 2 1 0 2 0 1 (1,2,3) 1通り
78: 0 2 1 0 2 1 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
79: 0 2 1 1 0 0 2 (1,2,3) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
80: 0 2 1 1 0 2 0 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
81: 0 2 1 1 2 0 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
82: 0 2 1 2 0 0 1 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
83: 0 2 1 2 0 1 0 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) (3,4,7) 4通り
84: 0 2 1 2 1 0 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (2,5,7) (3,4,7) 5通り
85: 0 2 2 0 0 1 1 (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) 3通り
86: 0 2 2 0 1 0 1 (3,4,7) 1通り
87: 0 2 2 0 1 1 0 (2,4,6) (2,5,7) 2通り
88: 0 2 2 1 0 0 1 (1,3,4) (2,4,6) (2,5,7) 3通り
89: 0 2 2 1 0 1 0 (1,3,4) (3,4,7) 2通り
90: 0 2 2 1 1 0 0 (1,3,4) (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) 4通り
91: 1 0 0 0 1 2 2 (2,5,7) 1通り
92: 1 0 0 0 2 1 2 (1,4,5) 1通り
93: 1 0 0 0 2 2 1 (1,4,5) (2,5,7) 2通り
94: 1 0 0 1 0 2 2 (1,5,6) (2,4,6) (3,4,7) 3通り
95: 1 0 0 1 2 0 2 (1,5,6) (1,6,7) (3,4,7) 3通り
96: 1 0 0 1 2 2 0 (1,6,7) (2,4,6) 2通り
97: 1 0 0 2 0 1 2 (1,3,4) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
98: 1 0 0 2 0 2 1 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (3,4,7) 4通り
99: 1 0 0 2 1 0 2 (1,3,4) (1,6,7) (2,5,7) 3通り
100: 1 0 0 2 1 2 0 (1,3,4) (1,6,7) 2通り
101: 1 0 0 2 2 0 1 (1,3,4) (1,5,6) (2,5,7) (3,4,7) 4通り
102: 1 0 0 2 2 1 0 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
103: 1 0 1 0 0 2 2 (1,5,6) (3,4,7) 2通り
104: 1 0 1 0 2 0 2 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) (3,4,7) 5通り
105: 1 0 1 0 2 2 0 (1,4,5) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
106: 1 0 1 2 0 0 2 (1,4,5) (1,6,7) 2通り
107: 1 0 1 2 0 2 0 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (3,4,7) 4通り
108: 1 0 1 2 2 0 0 (1,5,6) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
109: 1 0 2 0 0 1 2 (1,2,3) (1,3,4) 2通り
110: 1 0 2 0 0 2 1 (1,2,3) (1,3,4) (1,5,6) (3,4,7) 4通り
111: 1 0 2 0 1 0 2 (1,2,3) (1,3,4) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 5通り
112: 1 0 2 0 1 2 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,6,7) (2,3,5) 4通り
113: 1 0 2 0 2 0 1 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (2,5,7) (3,4,7) 6通り
114: 1 0 2 0 2 1 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
115: 1 0 2 1 0 0 2 (1,2,3) (1,6,7) 2通り
116: 1 0 2 1 0 2 0 (1,2,3) (1,5,6) (1,6,7) (2,4,6) (3,4,7) 5通り
117: 1 0 2 1 2 0 0 (1,2,3) (1,5,6) (3,4,7) 3通り
118: 1 0 2 2 0 0 1 (1,2,3) (1,4,5) 2通り
119: 1 0 2 2 0 1 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
120: 1 0 2 2 1 0 0 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
121: 1 1 0 0 0 2 2 (1,5,6) (2,4,6) (2,5,7) 3通り
122: 1 1 0 0 2 0 2 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) 4通り
123: 1 1 0 0 2 2 0 (1,4,5) (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) (2,5,7) 5通り
124: 1 1 0 2 0 0 2 (1,3,4) (1,4,5) (1,6,7) (2,4,6) (2,5,7) 5通り
125: 1 1 0 2 0 2 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) 4通り
126: 1 1 0 2 2 0 0 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) (2,5,7) 5通り
127: 1 1 2 0 0 0 2 (1,3,4) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
128: 1 1 2 0 0 2 0 (1,3,4) (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) 5通り
129: 1 1 2 0 2 0 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (2,5,7) 4通り
130: 1 1 2 2 0 0 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
131: 1 2 0 0 0 1 2 (1,2,3) (2,4,6) 2通り
132: 1 2 0 0 0 2 1 (1,2,3) (1,5,6) (2,5,7) 3通り
133: 1 2 0 0 1 0 2 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
134: 1 2 0 0 1 2 0 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
135: 1 2 0 0 2 0 1 (1,2,3) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
136: 1 2 0 0 2 1 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
137: 1 2 0 1 0 0 2 (1,2,3) (1,6,7) (2,4,6) (3,4,7) 4通り
138: 1 2 0 1 0 2 0 (1,2,3) (1,5,6) (1,6,7) 3通り
139: 1 2 0 1 2 0 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
140: 1 2 0 2 0 0 1 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (2,5,7) (3,4,7) 5通り
141: 1 2 0 2 0 1 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
142: 1 2 0 2 1 0 0 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
143: 1 2 1 0 0 0 2 (1,6,7) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
144: 1 2 1 0 0 2 0 (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
145: 1 2 1 0 2 0 0 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
146: 1 2 1 2 0 0 0 (1,4,5) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
147: 1 2 2 0 0 0 1 (1,3,4) (2,5,7) (3,4,7) 3通り
148: 1 2 2 0 0 1 0 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
149: 1 2 2 0 1 0 0 (1,3,4) (2,5,7) 2通り
150: 1 2 2 1 0 0 0 (2,4,6) (3,4,7) 2通り
151: 2 0 0 0 1 1 2 (1,4,5) (2,5,7) 2通り
152: 2 0 0 0 1 2 1 (1,4,5) 1通り
153: 2 0 0 0 2 1 1 (2,5,7) 1通り
154: 2 0 0 1 0 1 2 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (3,4,7) 4通り
155: 2 0 0 1 0 2 1 (1,3,4) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
156: 2 0 0 1 1 0 2 (1,3,4) (1,5,6) (2,5,7) (3,4,7) 4通り
157: 2 0 0 1 1 2 0 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
158: 2 0 0 1 2 0 1 (1,3,4) (1,6,7) (2,5,7) 3通り
159: 2 0 0 1 2 1 0 (1,3,4) (1,6,7) 2通り
160: 2 0 0 2 0 1 1 (1,5,6) (2,4,6) (3,4,7) 3通り
161: 2 0 0 2 1 0 1 (1,5,6) (1,6,7) (3,4,7) 3通り
162: 2 0 0 2 1 1 0 (1,6,7) (2,4,6) 2通り
163: 2 0 1 0 0 1 2 (1,2,3) (1,3,4) (1,5,6) (3,4,7) 4通り
164: 2 0 1 0 0 2 1 (1,2,3) (1,3,4) 2通り
165: 2 0 1 0 1 0 2 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (2,5,7) (3,4,7) 6通り
166: 2 0 1 0 1 2 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
167: 2 0 1 0 2 0 1 (1,2,3) (1,3,4) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 5通り
168: 2 0 1 0 2 1 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,6,7) (2,3,5) 4通り
169: 2 0 1 1 0 0 2 (1,2,3) (1,4,5) 2通り
170: 2 0 1 1 0 2 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
171: 2 0 1 1 2 0 0 (1,2,3) (2,3,5) 2通り
172: 2 0 1 2 0 0 1 (1,2,3) (1,6,7) 2通り
173: 2 0 1 2 0 1 0 (1,2,3) (1,5,6) (1,6,7) (2,4,6) (3,4,7) 5通り
174: 2 0 1 2 1 0 0 (1,2,3) (1,5,6) (3,4,7) 3通り
175: 2 0 2 0 0 1 1 (1,5,6) (3,4,7) 2通り
176: 2 0 2 0 1 0 1 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) (3,4,7) 5通り
177: 2 0 2 0 1 1 0 (1,4,5) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
178: 2 0 2 1 0 0 1 (1,4,5) (1,6,7) 2通り
179: 2 0 2 1 0 1 0 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (3,4,7) 4通り
180: 2 0 2 1 1 0 0 (1,5,6) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
181: 2 1 0 0 0 1 2 (1,2,3) (1,5,6) (2,5,7) 3通り
182: 2 1 0 0 0 2 1 (1,2,3) (2,4,6) 2通り
183: 2 1 0 0 1 0 2 (1,2,3) (1,4,5) (1,5,6) 3通り
184: 2 1 0 0 1 2 0 (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) 3通り
185: 2 1 0 0 2 0 1 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
186: 2 1 0 0 2 1 0 (1,2,3) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
187: 2 1 0 1 0 0 2 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (2,5,7) (3,4,7) 5通り
188: 2 1 0 1 0 2 0 (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) 3通り
189: 2 1 0 1 2 0 0 (1,2,3) (1,3,4) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
190: 2 1 0 2 0 0 1 (1,2,3) (1,6,7) (2,4,6) (3,4,7) 4通り
191: 2 1 0 2 0 1 0 (1,2,3) (1,5,6) (1,6,7) 3通り
192: 2 1 0 2 1 0 0 (1,2,3) (1,5,6) (2,4,6) 3通り
193: 2 1 1 0 0 0 2 (1,3,4) (2,5,7) (3,4,7) 3通り
194: 2 1 1 0 0 2 0 (1,3,4) (2,4,6) 2通り
195: 2 1 1 0 2 0 0 (1,3,4) (2,5,7) 2通り
196: 2 1 1 2 0 0 0 (2,4,6) (3,4,7) 2通り
197: 2 1 2 0 0 0 1 (1,6,7) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
198: 2 1 2 0 0 1 0 (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) 3通り
199: 2 1 2 0 1 0 0 (1,4,5) (1,5,6) 2通り
200: 2 1 2 1 0 0 0 (1,4,5) (2,3,5) (3,4,7) 3通り
201: 2 2 0 0 0 1 1 (1,5,6) (2,4,6) (2,5,7) 3通り
202: 2 2 0 0 1 0 1 (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) 4通り
203: 2 2 0 0 1 1 0 (1,4,5) (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) (2,5,7) 5通り
204: 2 2 0 1 0 0 1 (1,3,4) (1,4,5) (1,6,7) (2,4,6) (2,5,7) 5通り
205: 2 2 0 1 0 1 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7) 4通り
206: 2 2 0 1 1 0 0 (1,3,4) (1,5,6) (2,3,5) (2,4,6) (2,5,7) 5通り
207: 2 2 1 0 0 0 1 (1,3,4) (1,6,7) (2,3,5) (2,5,7) 4通り
208: 2 2 1 0 0 1 0 (1,3,4) (1,5,6) (1,6,7) (2,3,5) (2,4,6) 5通り
209: 2 2 1 0 1 0 0 (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (2,5,7) 4通り
210: 2 2 1 1 0 0 0 (1,4,5) (2,3,5) (2,4,6) 3通り
このとき、どのような色の塗り分けがされていようと、等式 ｘ ＝ｙ ＋ ｚ を満たす３つの整数
ｘ、ｙ、ｚ で、３つの数に用いられた色がすべて異なるものが確かに存在している。
N＝９ の場合、[N/４]＋１＝３ より、３色が３個ずつなので、色の塗り方は、
９！/(３！３！３！)＝１６８０ （通り）
こつこつやってみます。。。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年８月２３日付け）
本題の証明はなかなかうまくできません...。「N/4 個より多く」というのがぎりぎりの条件だと
いうことは次のように分かりました。
ｘ＋ｙ＝ｚ などとなる組を作らない方法として、奇数を１色に詰め込むという考えがあります。
つまり、ｘは全部奇数で、ｙ、ｚは全部偶数と言う風に。
(ｘ＝ｙ＋ｚ、ｙ＝ｘ＋ｚ、ｚ＝ｘ＋ｙ はすべて不可能になります。)
でも、偶数の個数の考察から、ｙ、ｚの色を使う個数が、少なくともどちらかは[N/4]以下に
なってしまい、なるほど [N/4]個より多くという条件は、ちょうどこれを許さない条件になって
いるようです。
ａｔ さんからのコメントです。（平成２４年８月２３日付け）
この問題は、1987年の Miklos Schweitzer Competition で出題されたものです。問題文と
解答は、
「難問とその解法 幾何・組合せ」 （シュプリンガー・フェアラーク東京）
に載っています。この本の原書は、
「Contests in Higher Mathematics」 （Springer）
です。その気になれば原書を無料でダウンロードすることも可能です。解答をみると、この
問題は高校一年生程度の数学の知識があれば十分に解ける問題であることがわかります。
かなりの難問ですが、興味深い問題だったので紹介させてもらいました。
現在、工事中！