当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２６年７月１３日付け）
1000円を500円、100円、50円、10円で両替する方法は、(500,100,50,10)=>｛a,b,c,d｝枚とす
ると、
{a,b,c,d}＝{2,0,0,0},{1,5,0,0},･･･,{0,0,0,100}
といろいろ両替可能である。そこで、一般に、1000*N(円）(N=1,2,3,･･･,9)を、上記の４種類の
硬貨で両替できる方法の数をNの式で構成してほしい。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２６年７月１３日付け）
(２N＋１)(１００N2＋５５N＋３)/３ 通りです。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年７月１３日付け）
お見事です。私は、これを、ピックの定理を３次元に拡張したもので、N-拡大体
（４点(0,0,0)、(2,0,0)、(0,10,0)、(0,0,20)を頂点とする三角錐を基本立体P1とするものをN倍に拡大していく立体PN）
の格子点を求める手法を読んで、やっとのことで手に入れた式でした。
本によると、この式をエルハート多項式というそうです。
内部にある格子点の数は、a(N)=(2N+1)(100N2+55N+3)/3 とおいたとき、-a(-1)で算出され
るそうです。因みに、-a(-1)=16(個）で、計算機で全調査してみたら適合していました。
よかったら、らすかるさんが導いた式の手法はどの様な方針を採られていたのか流れを教
えて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年７月１３日付け）
昔のメモからのコピペです。10円、50円、100円、500円で1000n円でなく、1円、5円、10円、
50円で100n円になっていますが、直すのが面倒なのでそのままで．．．。
1円硬貨でn円を表す方法は1通り → 5n円を表す方法も1通り
1円硬貨と5円硬貨で5n円を表す方法は、Σk=0〜n 1 = n+1（通り）
→10n円を表す方法は、2n+1通り
1円硬貨と5円硬貨と10円硬貨で10n円を表す方法は、Σk=0〜n (2k+1) = (n+1)2（通り）
→ 50n円を表す方法は、(5n+1)2通り
1円硬貨と5円硬貨と10円硬貨と50円硬貨で50n円を表す方法は、
Σk=0〜n (5k+1)2=(n+1)(50n2+55n+6)/6（通り）
→ 100n円を表す方法は、(2n+1){50(2n)2+55(2n)+6}/6=(2n+1)(100n2+55n+3)/3通り
因みに、この考え方だと、半端な金額でもきちんと求まります。
（コメント） 1円硬貨と5円硬貨で10円を表す方法は、11・・・1、111115、55 の３通りで、20円
を表す方法は、11・・・1、11・・・15、11・・・155、11111555、5555 の５通り．．．。
なるほど！面白い考え方ですね。