当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２６年６月９日付け）
７分、１１分が計れる砂時計が２つある。ちょうど茹で加減３分が食べ頃のゆで卵を作りた
い。家中の時計が電池切れで止まっており、腕時計もその日に限り会社に置き忘れていた。
LET'S TRY !
（答） らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
「７分、１１分が計れる砂時計が２つ」には、いろいろな意味にとれるのですが、以下のどれ
ですか？
(1) ７分、１１分が計れる砂時計がそれぞれ１つずつあり、合計で２つである。
(2) ７分、１１分が計れる砂時計がそれぞれ２つずつある。（合計４つ）
(3) ７分が計れる砂時計が１つあり、１１分が計れる砂時計が２つある。
(4) ７分と１１分の２種類の時間が計測できる便利な砂時計が２つある。
(5) その他
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
(1)でお願いします。時計ついでに、追加問題（*少し引っかけ問題です）。
通常の時計（短針、長針、秒針をもつもの）で、0:00:00〜12:00:00 の間で、
[1] 短針と長針がピッタリが重なる時刻を、1/1000秒単位までで求めて下さい。
[2] 短針、長針、秒針が重なるような時刻を、1/1000秒単位までで求めて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
7分と11分の砂時計両方で計時を開始し、7分経ったら7分計をひっくり返し、再度7分の計
時を開始する。11分計の計時が終わった時点からゆで卵作りを開始して、2度目の7分の計
測が終わるまでゆでれば、7×2-11=3分。
引っかけ問題なら「引っかけレベル」によって解答はいろいろ考えられますが、「引っかけレ
ベル10」だとしたら、
[1]については、「短針と長針は長さが異なるので、ピッタリ重なることはない。」
[2]については、「短針、長針、秒針の向きがピッタリ揃うのは0時と12時しかないから、その
間でピッタリ揃うことはない。針の太さを考えれば、3本が「重なる」ことはあるが、針の太さが
定義されていないので回答不可。」または、根元で常に重なっているから「常に重なっている」
とも言える。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
通常の形式を持つ時計で３つの針（時間、分，秒）をもち、12:00:00では３つの針はピッタリ
重なっており、その後は正確な時を刻むものとする。ただし、各針は太さを無視できるものと
するが、その針で時刻は読み取れるものとする。（？）＜素直に理解願います。＞
このとき、
[1] 時間針と分針がピッタリと重なる時刻を、0:00:00〜12:00:00で1000分の1秒単位までの精
度で求めて下さい。
[2] 時間針と分針と秒針の３本が最も接近する時刻（時間針角-分針角-秒針角が最小）
（0:00:00と12:00:00以外では３本がピッタリ重なることはできない。）
を、やはり、0:00:00〜12:00:00の範囲で1000分の1秒単位までの精度で求めて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
短針は1分で1/2°、長針は1分で6°進むから、進む角度の差は、11/2°となり、
360°/(11/2°)=720/11分ごとに重なる。
720/11分=1時間5分27.2727…秒だから、重なる時刻は、1/10000秒の位を四捨五入すると
00:00:00.000 、01:05:27.273 、02:10:54.545 、03:16:21.818 、04:21:49.091 、05:27:16.364
06:32:43.636 、07:38:10.909 、08:43:38.182 、09:49:05.455 、10:54:32.727 、12:00:00.000
「2本が最も接近」ならば、2本の距離とわかりますが、「3本が最も接近」は曖昧です。（数学
的に定義されていないと思います。）
例えば、「1,50,99」と「1,97,98」はどちらの方が「近い」と判断するのでしょうか。最も離れた2
本の差でしょうか、それとも分散が小さい方でしょうか、あるいはその他の判定方法でしょう
か。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
らすかるさんの計算結果から、現在最も秒針が重なった２つに接近しているのが（分針
と秒針の角度が近い）、3時 または 8時台であるので、３つが最も寄り添える時間帯は、３時
台の上記の２つが重なる時刻の数秒前で、秒針が分針を越えてから時間針を追い越さない
時間か、８時台の上記の２つが重なる時刻の数秒後で、秒針が時間針を越えてから分針を
追い越さない時間と考えられる。
これから攻めていけませんかね？
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
「秒針が分針を越えてから時間針を追い越さない時間」のうちのどこを「最も接近」と考える
かが問題なのです。
秒針が長針に一致する時刻は、03:16:16.271 で、このとき、秒針・長針の角度（上を0°とし
て時計回り）は 97.6271°、短針の角度は 98.1356°なので、差は0.5085°。その後秒針が
短針に一致する時刻は、03:16:16.356。このとき、長針の角度は 97.6356°で、秒針・短針の
角度は 98.1363°なので、差は0.5007°。
よって、単純に「3本の針のうち最も離れた2本の角度が最小になる」と考えると 3:16:16.356
が答えになりますが、「3本の針が最も集まっている時刻」と考えると、角度の分散が最小値
0.0424になる 3:16:16.315 が「3本が最も近い」と言えます。
このとき、長針の角度は 97.6315°、秒針の角度は 97.8896°、短針の角度は 98.1360°
長針と短針の角度の差は 0.5045°となります。
8時台は左右対称なだけなので省略。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月９日付け）
なるほど、３本の寄り添い方に解釈がいろいろとできるんですね。私は単純に、
3:16:16.3560500695･･･の時刻の方で解釈していました。(もう一つは8:43:43.6439499305･･･)
それよりも「あっ！」と思ったことが、「３つの針は重ならない」という事実でした。時計は身
につけて毎日見ていますが、何気なく見ていると、３つの針は一瞬重なったように感じていま
した。いや〜、日常とは見ているようで真実を何も見ていないんだと改めて思いました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年６月１０日付け）
ところで、時計の問題はどの部分が「少し引っかけ」だったのですか？私には、引っかけな
どない極めて真面目な数学の問題に思えました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２６年６月１０日付け）
[1]の問いに対してはピッタリ一致する時刻が決定するのに対し、[2]での表現をピッタリ一
致とはできないため、ぼかしながら表現しなければならず、また私みたいにピタリ一致すると
勘違いして計算していて戸惑うことを予想して、”引っかけ”という表現を使ってしまいました。
（引っ掛かったのは私だけだったのかも知れません。）混乱させて申し訳ありませんでした。
他意はありません。