当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ａｔ」さんからの出題です。
（平成２４年５月２１日付け）
平面図形に関する問題です。気が向いたら解いてみてください。
[問題] 以下の２つの条件を同時に満たすような無限集合Ｓが存在することを証明せよ。
(1) Ｓの元はすべて平面上の円である。
(2) 平面上の任意の点Ｐについて、Ｐを通過するようなＳの元がちょうど１９８８個だ
けある。
（答） 空舟さんからのコメントです。（平成２４年５月２２日付け）
まず、ｘ軸上に並んだ直径１の円の列を考えました。すなわち、集合
A={ (ｘ-ａ)2+(ｙ-ｂ)2＝1/4｜ｘ は任意の実数で、ｂ=0 }
を考えると、Aの元のうち、-1/2＜ｙ＜1/2 の範囲の各点を通る円は２つずつあり、ｙ=±1/2
のときは通る円が１つあります。ということは、それを積み重ねて、集合
B={ (ｘ-ａ)2+(ｙ-ｂ)2＝1/4｜ｘ は任意の実数で、ｂ は任意の整数 }
を考えれば、任意の点を通る円が２つずつあることになります。
それを適当に（1/994刻み等とずらして）994個を重ね合わせて、集合
S={ (ｘ-ａ)2+(ｙ+ｋ-ｂ)2＝1/4｜ｘ は任意の実数で、ｂ は任意の整数、
ｋ=0、1/994、2/994、・・・、993/994 }
を考えれば、任意の点について通る円が1988個ずつあることになります。
双対的な発想で、次の問題を考えてみました。
円たちを元とする無限集合Sで、平面上の任意の直線Lに対してそれに接するSの元
がちょうど1988個あるような集合Sを構成してください。
ａｔ さんからのコメントです。（平成２４年５月２３日付け）
今回も空舟さんに鮮やかに解かれてしまいましたね。この問題はトーナメント・オブ・タウン
ズで出題された問題です。他に興味深い問題もあります。気が向いた人がいたら、挑戦して
みてください。