外接円3                                   戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                        (令和3年3月1日付け)

 平面上の△ABCで、3点A、B、Cの座標は、それぞれ (a,2a^2)、(2a,-5)、(6,a^2) である。
この△ABCの外心の座標は、O(2a^2,2a)である。整数aを答えよ。







































(答) OA2=(2a^2−a)2+(2a^2−2a)2=8a^4−12a^3+5a^2

OB2=(2a^2−2a)2+(2a+5)2=4a^4−8a^3+8a^2+20a+25

OC2=(2a^2−6)2+(a^2−2a)2=5a^4−4a^3−20a^2+36

OA2=OB2 から、 4a^4−4a^3−3a^2−20a−25=0

OB2=OC2 から、 a^4+4a^3−28a^2−20a+11=0

2式を辺々引いて、 20a^3−109a^2−60a+69=0

すなわち、 (a+1)(20a^2−129a+69)=0

この方程式は実数解を3個持つが、整数解は、a=−1のみ。

逆に、このとき、OA2=OB2=OC2 で、確かに点Oは△ABCの外心となる。  (終)


 らすかるさんからのコメントです。(令和3年3月1日付け)

 外心をOとすると、

OA^2-OB^2

={(2a^2-a)^2+(2a-2a^2)^2}-{(2a^2-2a)^2+(2a+5)^2}=(a+1)(2a-5){(4a+1)^2+39}/8=0

なので、条件から a=-1 であり、a=-1 のとき、△ABCは、AB=AC=5√2の直角二等辺三

角形で、OはBCの中点になるので成り立つ。


(コメント) 4次式の因数分解が厳しそうだったので、共通解の常套手段で、「辺々引いて」
      3次式に次数を落としたのですが、4次式の因数分解も頑張れば出来るのかな?