当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年３月１日付け）
平面上の△ABCで、３点A、B、Cの座標は、それぞれ (a，2a^2)、(2a，-5)、(6，a^2) である。
この△ABCの外心の座標は、Ｏ(2a^2，2a)である。整数aを答えよ。
（答） ＯＡ2＝（2a^2−a）2＋（2a^2−2a）2＝8a^4−12a^3＋5a^2
ＯＢ2＝（2a^2−2a）2＋（2a＋5）2＝4a^4−8a^3＋8a^2＋20ａ＋25
ＯC2＝（2a^2−6）2＋（a^2−2a）2＝5a^4−4a^3−20a^2＋36
ＯＡ2＝ＯＢ2 から、 4a^4−4a^3−3a^2−20ａ−25＝0
ＯＢ2＝ＯＣ2 から、 a^4＋4a^3−28a^2−20ａ＋11＝0
２式を辺々引いて、 20a^3−109a^2−60ａ＋69＝0
すなわち、 （ａ＋1）（20a^2−129ａ＋69）＝０
この方程式は実数解を３個持つが、整数解は、ａ＝−１のみ。
逆に、このとき、ＯＡ2＝ＯＢ2＝ＯＣ2 で、確かに点Ｏは△ＡＢＣの外心となる。 （終）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年３月１日付け）
外心をOとすると、
OA^2-OB^2
={(2a^2-a)^2+(2a-2a^2)^2}-{(2a^2-2a)^2+(2a+5)^2}=(a+1)(2a-5){(4a+1)^2+39}/8=0
なので、条件から a=-1 であり、a=-1 のとき、△ABCは、AB=AC=5√2の直角二等辺三
角形で、OはBCの中点になるので成り立つ。
（コメント） ４次式の因数分解が厳しそうだったので、共通解の常套手段で、「辺々引いて」
３次式に次数を落としたのですが、４次式の因数分解も頑張れば出来るのかな？