当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２７年２月２２日付け）
平面上の点(２，１)から、円 ｘ2＋ｙ2＝１ へ引いた接線の方程式を求めよ。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２７年２月２２日付け）
一つの接点が(０，１)で、接線の方程式が ｙ＝１ であることはすぐにわかる。(２，１)と円の
中心を通る直線に直交し(０，１)を通る直線の方程式は、ｙ＝−２ｘ＋１で、この直線と円との
もう一つの交点は、(４/５，−３/５)だから、もう一つの接線は、(２，１)と(４/５，−３/５)を通る
直線、すなわち、 ｙ＝(４ｘ−５)/３
（コメント） らすかるさんの求められた直線：ｙ＝−２ｘ＋１は割線の方程式と言われ、公式：
平面上の点(ａ，ｂ)から、円 ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 へ引いた接線の接点を結ぶ直線（割線）
の方程式は、 ａｘ＋ｂｙ＝ｒ2
からも得られる。
りらひいさんが考察されました。（平成２７年２月２２日付け）
らすかるさんがもう解いているけど、私なりの解答も書いておこう・・・。真面目に計算する
感じです。
求める接線Ｌが原点を通らないことは明らかなので、Ｌを、ａｘ＋ｂｙ＋１＝０とおく。
Ｌは(２，１)を通るので、 ２ａ＋ｂ＋１＝０ より、 ｂ＝−２ａ−１ ・・・（*）
Ｌと円の中心の距離が１であるので、１/√(ａ2＋ｂ2)＝１ 即ち、 ａ2＋ｂ2)＝１ ・・・（**）
（*）を（**）に代入して整理すると、 ａ(５ａ＋４)＝０ より、 ａ＝０、−４/５
ａ＝０ のとき、 ｂ＝−１ で、このとき、Ｌは、 ｙ＝１
ａ＝−４/５ のとき、 ｂ＝３/５ で、このとき、Ｌは、 ｙ＝(４ｘ−５)/３
DD++さんが考察されました。（平成２７年２月２２日付け）
では、私がさらに別の解答を．．．。
(２，１)と円の中心との距離は、
で、円の半径は、１ である。よって、三平方の定理より接線の長さは２なので、接点は、円 ｘ2＋ｙ2＝１ と円 (ｘ−２)2＋(ｙ−１)2＝４ の交点、即ち、
(０，１)および(４/５，−３/５)である。よって、円の接線の公式を用いて、求める方程式は、
ｙ＝１ および、 ４ｘ−３ｙ＝５
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２７年２月２２日付け）
（コメント） まだ、次のような別解が出ていないようなので．．．。
２本の接線のうち、ｙ＝１は明らか。他方の接線は、ｙ＝１を直線ｙ＝（１/２）ｘに関して対称
移動させたもの。変換式は、 Ｘ＝（３ｘ＋４ｙ）/５、Ｙ＝（４ｘ−３ｙ）/５ すなわち、
ｘ＝（３Ｘ＋４Ｙ）/５、ｙ＝（４Ｘ−３Ｙ）/５ である。
ｙ＝１ より、 （４Ｘ−３Ｙ）/５＝１ なので、他方の接線の方程式は、 ４ｘ−３ｙ＝５
よおすけさんから解答を頂きました。（平成２７年２月２３日付け）
求める２本の接線のうち、ｙ＝１は言うまでもないでしょう。もう1つの直線を、
ｘ−２＝ｍ（ｙ−１）
とおき、xについて変形すると、 ｘ＝ｍ（ｙ−１）＋２
これを、ｘ2＋ｙ2＝１ に代入して、整理すると
(ｍ2＋１)ｙ2−２(ｍ2−２ｍ)ｙ＋ｍ2−４ｍ＋３＝０
この式の判別式をD/４とする。円と直線は接するので、D/４＝０ すなわち、
(ｍ2−２ｍ)2−(ｍ2＋１)(ｍ2−４ｍ＋３)＝４ｍ−３＝０ より、ｍ＝３/４
ｘ−２＝ｍ（ｙ−１） に代入して、４ｘ−３ｙ−５＝０
ｔｅｔｓｕさんから私のコメントと同趣旨の解答をお寄せ頂いた。（平成２７年２月２５日付け）
接線は２本あり、ひとつが直線y=1であるのは明らかです。もうひとつの直線は（Lと呼びま
しょう）、原点と点(2，1)を通る直線、すなわち、直線y=(1/2)xに関して直線y=1と対称です。
直線y=(1/2)xの、x軸の正の向きとのなす角をαとすれば、この傾きの1/2とはtanαの値
です。そして、Lがx軸の正の向きとなす角は2αです。つまり、Lの傾きはtan(2α)で、この値
は、加法定理（2倍角の公式）により、
(2tanα)/{1-tan2α}={2*(1/2)}/{1-(1/4)}=1/(3/4)=4/3
と求められます。というわけで、Lは、点(2，1)を通り、傾きが4/3の直線ということになります。
よって、Lの方程式は、 y-1=(4/3)(x-2) すなわち、 4x-3y-5=0 となります。
（コメント） ｔｅｔｓｕさん、初めまして！変換式を用いるより、ｔｅｔｓｕさんの解答の方が自然です
ね。ｔｅｔｓｕさんに感謝します。