いま、忘年会たけなわである。我が職場でも、先日忘年会があり、恒例のビンゴゲームで
３等（図書券３０００円分）をゲットしてきた。今日は、そんな話題から．．．。
ゲームの賞品として、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ の４つの品物があり、次のことが分かっている。
２つの品物について差額を計算する。その差額は全て異なり、次の何れかであった。
１０００円、２０００円、３０００円、４０００円、５０００円、６０００円
最も値段が安い品物の値段を、１０００円とする。上記の条件を満たすように賞品を揃える
とき、賞品の購入予算はいくらになるであろうか？
（答） １０００円、３０００円、６０００円、７０００円 で、計 １７０００円になる。
平成２２年５月２９日付けで、当ＨＰがいつもお世話になっているＦＮさんから、問題の条件
を満たす場合は上記以外にもあり、
１０００円、２０００円、５０００円、７０００円 で、計 １５０００円
も解になることを、ご教示いただいた。しかも、解は、この２通りのみとのことである。
さらに、ＦＮさんは、次のような類題を提起された。
問 題 ｎ 個の整数 Ａ1、Ａ2、・・・、Ａｎ から２つを取った差がすべて異なり、
１、２、・・・、ｎ（ｎ−１）/２ のどれかである。このような ｎ 個の整数
が存在するのは、ｎ がどのような値のときであるか。
この問題に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんから解答を頂い
た。（平成２２年５月３０日付け）
（解） ｎ は“大きい数”とし、 ｍ＝ｎ（ｎ−１）/２ 、Ａ1＝０ とする。
差 ｍ が存在するので、 Ａｎ＝ｍ とする。
差 ｍ−１ が存在するためには、１ または ｍ−１ が必要であるが、どちらでも同じな
ので、Ａ2＝１ とする。
差 ｍ−２ が存在するためには、ｍ−２ または ｍ−１ または ２ が必要であるが、
ｍ−２ 以外は差 １ が２つ出来てしまうので不適。よって、 Ａｎ-1＝ｍ−２ とする。
この状態で、既に差 ｍ−３ は存在している。
同様に、差 ｍ−４ が存在するためには、４が必要である。すなわち、 Ａ3＝４ とする。
ここで、差 ｍ−５ が存在するためには、 ｍ−５ または ｍ−４ または ５ が必要であ
るが、何れも不適である。よって、ｎ が大きい時は不可能である。
可能となるためには、この状態で、差 ｍ−５ が既に出来ていなければならない。
しかし、現在存在する差は、
１、２、３、４、ｍ−６、ｍ−４、ｍ−３、ｍ−２、ｍ−１、ｍ
である。
ここで、 ４＜ｍ−６ とすると、ｍ−５ はできないので不適
ｍ−６≦４ とすると、差が重複してしまい不適
したがって、整数の組 「０、１、４、ｍ−２、ｍ」は起こり得ない。
よって、整数の組を、最後に追加した４を取り除いて、「０、１、ｍ−２、ｍ」とすると、存
在する差は、 １、２、ｍ−３、ｍ−２、ｍ−１、ｍ となる。
ここで、 ２＜ｍ−４ とすると、ｍ−４ はできないので、 ｍ−４≦２ すなわち、 ｍ≦６
ｍ＝６ のとき、 ｎ（ｎ−１）/２＝６ から、ｎ＝４ で、求める整数の組は、 ０、１、４、６
ｍ＝５ のとき、 ｎ（ｎ−１）/２＝５ を満たす自然数解はない。
ｍ＝４ のとき、 ｎ（ｎ−１）/２＝４ を満たす自然数解はない。
ｍ＝３ のとき、 ｎ（ｎ−１）/２＝３ から、ｎ＝３ で、求める整数の組は、 ０、１、３
ｍ＝２ のとき、 ｎ（ｎ−１）/２＝２ を満たす自然数解はない。
ｍ＝１ のとき、 ｎ（ｎ−１）/２＝１ から、ｎ＝２ で、求める整数の組は、 ０、１
以上から、求める ｎ の値は、 ｎ＝２、３、４ の場合に限る。 （終）
（コメント） らすかるさん、ありがとうございます。とても分かり易い解法ですね！
また、らすかるさんやＦＮさんからの情報によれば、この話題に関連することが下記のＨＰ
に詳しく書かれているとのことである。
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003022
http://en.wikipedia.org/wiki/Golomb_ruler
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%A0%E5%AE%9A%E8%A6%8F
（コメント） そうか、完全ゴロム定規を求めていたわけですか．．．。