トランプ遊び　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年１０月２４日付け）

　 一組のトランプ５２枚のカードを、ある並びにしておきます。
（なんと、
　　　　52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000通り
もある。）

　これを上から一枚ずつ１３カ所に配っていき、各組が４枚ずつのカードの山にする。
（１３カ所に配ったら元の山に戻り続けて配る。）

　このとき、できた１３組が次の条件を満たすように最初のカードの順番を決定してほしい。
（1番目から５２番目までが何のカードであればよいかを具体的に記述して下さい。）

　条件１：配られた各組の４枚はすべてマークが異なっている。
　　　　即ち、スペード、ハート、クラブ、ダイヤが一枚ずつある。

　条件２：できた１３組の任意の２組を調べると、共通する数字のカードを必ず１枚含む。


　この条件を達成させる配列が52!の中に何通り可能か解りませんが（自分が見つけたパ
ターンから推測して 8017125549029861644243742280450048000000通りあるような気もす
るんですが自信がありません。どなたか求めてくれませんか？）

　まあ、 1/10060734945170489868288000000　位の確率しかなく、山と積まれた干し草の
中から針を探す作業にも喩えられます。




























（答）　空舟さんが考察されました。（平成２４年１０月２５日付け）

　ＧＡＩ さんの予想「8017125549029861644243742280450048000000通り」より少し少ない、7152856556299429833043488284784721920000通りという結果でした。

　数字としては以下のパターンだけだと思います。これを適当に数字を置換すれば、全ての
方法を網羅すると思います。

　　　1 2 3 4　　　1 5 6 7　　　1 8 9 0　　　1 A B C

　　　2 5 8 A　　　2 6 9 B　　　2 7 0 C　　　3 5 9 C

　　　3 6 0 A　　　3 7 8 B　　　4 5 0 B　　　4 6 8 C

　　　4 7 9 A

・数字の組の決め方

　（１）　1以外の12枚を4組に分ける方法:15400通り

　（２）　残りのペアの決め方：72通り

・マークの設定

　（３）　上4組のマークの決め方：24*6⁴通り

　（４）　残りのマークの設定：38通り

・あとは並び順を考えて

　（５）　13組の入れ替え：13!通り

　（６）　各組の中での入れ替え：24¹³通り

（１）（２）（３）（４）（５）（６）を掛け合わせて冒頭の結果を得ました


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１０月２６日付け）

　（１）（２）の部分の考え方をもう少し詳しく説明してもらえますか？
１５４００通りの計算（₁₂C₃・70）ですが、これで求められたのですか？それなら、７０の意味
が掴めなく混乱しています。

　また、（３）（４）の部分、特に３８通りの出し方を説明して下さい。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２４年１０月２６日付け）

　12枚を3枚ずつ4組に分けるのは、(₁₂C₃×₉C₃×₆C₃×₃C₃)÷4!＝１５４００（通り）です。

　残りのペアの決め方は、4組を(234)(567)(890)(ABC)とすると、まず、2、3、4それぞれと、
5、6、7それぞれが組になるのは決まっていますので、例えば、2と5が含まれる組について
考えます。それと組にするものは、890の中から一つ(3通り)、ABCの中から一つ(3通り)選
びます。

　次に2と6が含まれる組では、890の中から上で選んだものを除く2通り、ABCの中から上
で選んだものを除く2通りです。そうすると、2と7が含まれる組は自動的に決まります。そし
て3と5が含まれる組で、890の中から2と5の組で選んだもの以外の2通りのうち一つを選べ
ば、残りは自動的に決まりますので、結局3×3×2×2×2=72（通り）となります。

　上4組のマークの決め方は、1のマークの順番が4!通り、残り3つずつのマークの決め方
が、(3!)⁴通りです。

　38通りは面倒そうなので確認していませんが、数え上げたのではないかと思います。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年１０月２６日付け）

　らすかるさんの推測されている通り、38通りというのはプログラミングによる数え上げで求
めました。一応ちゃんと調べたつもりですが、自信があるとはちょっと言えないかな・・・。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１０月２７日付け）

　数ある配列の中で、最も覚え易いと思われるものとして、以下の構成を考えてみました。
Ｄ：ダイヤ、Ｓ：スペード、Ｈ：ハート、Ｃ：クラブ　で並べて下さい。できる１３組（a〜m)が例の
条件を満たします。

　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１０月２７日付け）

　「7並べ」の完成形から、1、2、3、4段目をそれぞれ0、1、3、9枚左へローテイトする。

　1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 J Q K
　2 3 4 5 6 7 8 9 0 J Q K 1
　4 5 6 7 8 9 0 J Q K 1 2 3
　0 J Q K 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ということでしょうか。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１０月２７日付け）

　ワーすごい！！！こうなるとは思ってもいませんでした。これなら完璧に覚えられます。裏
になにか数学的構造が隠れている予感がします。

　攻略法さんが発見されたローテーションの構成法を利用することで、拡張版トランプ遊び
が創作できました。

拡張版トランプ

　数字が１〜３１、マークが６種類（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ）

　これを、３１カ所に配って各山６枚ずつのカードの組を作る。この時、どの組も次の条件が
成立している。

　条件�T：すべてのマークが揃っている。
　条件�U：ある組に対し、それ以外との組に共通するカードの数字はただ一つある。

（通常のトランプではこの共通する数の組は特定の組とそれ以外のすべての組との組合せ
においては各数３回出現したのに対し、この場合は５回出現することになっている。）

　ローテーションの方法：　各マークで「３１」並べの初期状態から、１（Ａ），２（Ｂ），３（Ｃ），
　　　　　　　　　　　　　　　４（Ｄ），５（Ｅ），６（Ｆ）段目をそれぞれ左へ、０，１，３，６，１２，１８
　　　　　　　　　　　　　　　枚ローテイトする。


　攻略法さんからのコメントです。（平成２４年１０月２７日付け）

　 「7並べ」の完成形から、1、2、3、4段目をそれぞれ0、1、3、9枚左へローテイトする件につ
いて、4行13列の場合では、その他に、

がありました。また、その他の大きさでは、

2行3列の場合

3行7列の場合

　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１０月２８日付け）

　本質的結果は同じものになるので、これらは同型とした方がいいでしょうね。