ブラマグプタの問題　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　インドの数学者に、ブラマグプタ（598〜660）という人がいる。彼は、次のような問題を残して
いる。（原題はすべて文字で表されている。）

　１５ｃｍ隔たった所に、長さ １ｃｍの棒が垂直に立てられている。いま、２つの棒の間の適当
な所に、長さが分からないロウソクをおいて、明かりを灯したら、下図のような長さの影ができ
た。このとき、ロウソクの長さは、いくらだろうか？（炎の部分の長さは無視するものとする。）

　　


（参考文献：コロソフ　著　山崎　昇・牧野金太郎　訳　数学課外よみもの（�T）　（東京図書））

























（答）　４ｃｍ

　　実際に、ろうそくの長さを、ｘ ｃｍ、左側の棒からろうそくまでの距離を、ｙ ｃｍとすると、

　右側の棒からろうそくまでの距離は、１５−ｙ ｃｍになるので、相似三角形の辺の比の

　関係から、
　　　　　　　　　　　　　２ ： １ ＝ ２＋ｙ ： ｘ　すなわち、　２ｘ＝２＋ｙ

　　　　　　　　　　　　　３ ： １ ＝ １８−ｙ ： ｘ　すなわち　３ｘ＝１８−ｙ

　　　２つの式を辺々加えて、　５ｘ＝２０

　よって、ｘ＝４（ｃｍ）　である。

　一般に、棒の長さを ｈ、影の長さを ａ 、 ｂ 、 ２つの棒の間隔を ｄ とすると、

ろうそくの長さ ｘ は、
　　　　　　　　　　　　ｘ ＝ ｈ(ａ＋ｂ＋ｄ)/(ａ＋ｂ)

で与えられる。


（追記）　上記の問題を、当ＨＰ読者のＪ．Ｙ．さんが考察された。（平成２３年１２月３０日付け）

　　　　

　図のように点に名前をつけます。ここで、四角形ＧＤＦＩは長方形で、ＧＩＢＣになることが
わかります。

　さらに、ＧＪＡＣとなるように、ＢＣ上に点Ｊをとれば、△ＧＤＪ≡△ＩＦＣ（１辺とその両端の
角）となり、また、平行であることから、△ＧＢＪ∽△ＡＧＩ（２組の角）で、その相似比は、

　　２＋３ ： １５ ＝ １ ： ３

になります。相似な図形の対応する部分の長さの比は等しいので、ＧＤ ： ＡＨ ＝ １ ： ３

　ここで、ＧＤ＝１（ｃｍ） より、ＡＨ＝３（ｃｍ） となり、　ＡＥ＝３＋１＝４（ｃｍ）　になります。

　一般に、

　　ＧＤ＝ＩＦ＝ｈ（＝ＨＥ）、ＢＤ＝ａ 、ＦＣ＝ｂ （＝ＤＪ）、ＤＦ＝ｄ（＝ＧＩ）、ＡＥ＝ｘ　とすると、

　△ＧＢＪ∽△ＡＧＩより、　ｈ ： ｘ−ｈ ＝ ａ＋ｂ ： ｄ　が成り立つ。

　よって、（ａ＋ｂ）（ｘ−ｈ）＝ｄｈ　より、　ｘ−ｈ＝ｄｈ／（ａ＋ｂ）　から、ｘ＝ｈ＋ｄｈ／（ａ＋ｂ）

すなわち、　 ｘ＝ｈ＋ｈ・ｄ／（ａ＋ｂ）　となります。


（コメント）　Ｊ．Ｙ．さん、別解をいただき、ありがとうございます。△ＧＢＪ を考えるのがコツの
　　　　　　ようですね！


（追記）　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｓ（Ｈ）」さんが、上記の問題を考察された。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年１２月３１日付け）

　　　　


　左右から光をあてると、影の長さ=h が共通であることに注意して、

　ＤＥ＝ｘ₁ 、ＥＦ＝ｘ₂ とおくと、　ｘ₁ + ｘ₂ = 15　で、

　　√[(2 + ｘ₁)² + h²]・1/√[2² + 1²] = h　、√[(ｘ₂ + 3)² + h²]・1/√[1² + 3²] = h

　このとき、　(2 + ｘ₁)² = 4h²　、(ｘ₂ + 3)² = 9h²　より、　9(2 + ｘ₁)² = 4(ｘ₂ + 3)²

　ｘ₂ = 15 - ｘ₁　を代入して、　9(2 + ｘ₁)² = 4(18 - ｘ₁)²

　因数分解して、　（42 + ｘ₁）（-30 + 5ｘ₁） = 0　より、　ｘ₁＝-42　、6

　ｘ₁＞0　なので、　ｘ₁＝-42　は不適。　よって、　ｘ₁＝6

　このとき、　ｘ₂＝9　、ｈ＝4

（→　参考：「ブラマグプタ」）


　攻略法さんが、種々の解法を整理されました。（平成２４年１月２日付け）

　下図において、ＧＪＡＣ　で、さらに、

　ＧＤ＝ＩＦ＝ｈ（＝ＨＥ）、ＢＤ＝ａ 、ＦＣ＝ｂ （＝ＤＪ）、ＤＦ＝ｄ（＝ＧＩ）、ＡＥ＝ｘ　とする。

　　　　

その１　・・・　相似三角形の長さの比

　　　　　　　△AGI∽△ABC　なので、対応する長さにおいて、

　　　　　　　底辺 ： 高さ = GI ： AH = BC ： AE　より、 d ： ｘ - ｈ = ａ + ｄ + ｂ ： ｘ

　　　　　　　よって、　ｘ = ｈ(ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)

その２　・・・　相似三角形の長さの比

　　　　　　　△GBJ∽△ABCなので、対応する長さにおいて、

　　　　　　　底辺 ： 高さ = BJ ： GD = BC ： AE　より、　ａ + ｂ ： ｈ = ａ + ｄ + ｂ ： ｘ

　　　　　　　よって、　ｘ = ｈ(ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)

その３　・・・　面積

　　　　　　　面積に注目して、　△GBD + □GDFI + △ICF + △AGI = △ABC　より、

　　　　　　　　ａｈ/2 + ｄｈ + ｂｈ/2 + ｄ(ｘ - ｈ)/2 = (ａ + ｂ + ｄ)ｘ/2

　　　　　　　よって、　ｘ = ｈ(ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)

その４　・・・　相似三角形の面積比

　　　　　　　△GBJ∽△ABC　で、底辺の比が　ａ + ｂ ： ａ + ｄ + ｂ　より、面積比は、

　　　　　　　　（ａ + ｂ）² ： （ａ + ｄ + ｂ）²

　　　　　　　よって、　(ａ + ｂ)ｈ/2・（ａ + ｄ + ｂ）²/（ａ + ｂ）² = (ａ + ｄ + ｂ)ｘ/2　より、

　　　　　　　　ｘ = ｈ(ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)

その５　・・・　相似三角形の面積比

　　　　　　　△ABCの面積は、(ａ + ｄ + ｂ)ｘ/2

　　　　　　　左の三角形について、

　　　　　　　　△GBD∽△ABE（高さの比が、ｈ：ｘ）、△GBDの面積 ａｈ/2　より、

　　　　　　　△ABEの面積は、ａｈ/2　の (ｘ/ｈ)²倍

　　　　　　　右の三角形について、

　　　　　　　　△ICF∽△ACE（高さの比が、ｈ：ｘ）、△ICFの面積 ｂｈ/2　より、

　　　　　　　△ACEの面積は、ｂｈ/2　の (ｘ/ｈ)²倍

　　　　　　　よって、面積において、　△ABC=△ABE+△ACEより、

　　　　　　　　　(ａ + ｂ + ｄ)ｘ/2 = (ａｈ/2) (ｘ/ｈ)² + (ｂｈ/2) (ｘ/ｈ)²

　　　　　　　以上から、　ｘ{(ａ + ｂ)ｘ - ｈ(ａ + ｂ + ｄ)} = 0　なので、ｘ = ｈ(ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)

　　　　

その６　・・・　算数

　　　　　　点B、Cから光が発せられたと考えると、△GBD+△ICF=△GBJ　において、

　　　　　　棒GDの影がろうそくの長さAEになるのは、15÷(2 + 3) = 3　なので、3 + 1倍とな

　　　　　　るときである。　よって、ｘ＝１×（３＋１）＝４

　　　　　　　一般に、

　　　　　　点B、Cから光が発せられたと考えると、△GBD+△ICF=△GBJ　において、

　　　　　　棒GDの影がろうそくの長さAEになるのは、ｄ÷(ａ + ｂ)　なので、

　　　　　　　ｄ/(ａ + ｂ) + 1 = (ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)倍となるときである。

　　　　　　よって、　ｘ = ｈ(ａ + ｂ + ｄ)/(ａ + ｂ)

その７　・・・　図形と方程式

　　　　　　点B(0，0)、点C(2+15+3，0) = (20，0)　とする。

　　　　　　直線BA ： ｙ = (1/2)ｘ 、直線CA ： ｙ = (-1/3)(ｘ - 20)　なので、その交点は、連立

　　　　　　方程式を解いて、(8，4)　　よって、　ｘ＝４

その８　・・・　ベクトル

　　　　　　点B(0，0)、点C(2+15+3，0) = (20，0)　とする。

　　　　　　ベクトルBA = s(2，1) = (2s，s)、ベクトルCA = (20，0) + t(-3，1) = (20-3t，t)　な

　　　　　　ので、その交点は、2s = 20-3t、 s = t　の連立方程式を解くことで求まる。

　　　　　　(s，t) = (8，4)　より、交点は、(8，4)　　よって、　ｘ＝４


（追記）　当ＨＰ読者の伊藤 努さんから別解を頂いた。（平成２７年１０月１８日付け）

　ローソクの長さを ｘ ｃｍとすると，左側の長さは、２ｘ ｃｍ、右側の長さは、３ｘ ｃｍ　なので、

　　２ｘ＋３ｘ＝１５＋２＋３　より、　ｘ＝４（ｃｍ）


（コメント）　一番自然な相似比による解法が漏れていましたね！伊藤さんに感謝します。