当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年４月９日付け）
α、β、γは鋭角で、sinα＝72061/1647086、sinβ＝239/4802、sinγ＝143/343 のとき、
α+β+γを求めよ。
（答） ３０°(＝π/６)
土筆の子さんが解かれました。（平成２４年４月１０日付け）
加法定理と、ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１ を繰り返し用いて、
ｓｉｎ（α＋β＋γ）
＝(ｓｉｎα・√[１−ｓｉｎ2β]＋√[１−ｓｉｎ2α]・ｓｉｎβ)・√[１−ｓｉｎ2γ]
＋(√[１−ｓｉｎ2α]・√[１−ｓｉｎ2β]−ｓｉｎαｓｉｎβ）ｓｉｎγ
＝((72061/1647086)・√[１−(239/4802)2]
＋√[１−(72061/1647086)2]・(239/4802))・√[１−(143/343)2]
＋(√[１−(72061/1647086)2]・√[１−(239/4802)2]
−(72061/1647086)(239/4802))(143/343)
＝１/２
より、 α＋β＋γ＝π/６
√[１−(72061/1647086)2]＝ (950035/1647086)
√[１−(239/4802)2]＝(2769/4802)
．．．．．きれいに相殺されますね。
（コメント） sinα＝72061/1647086＝0.0437505・・・ より、αは ２°３０′くらい。
sinβ＝239/4802＝0.0497709・・・ より、βは ２°５０′くらい。
sinγ＝143/343＝0.4169096・・・ より、γは ２４°４０′くらい。
なので、α＋β＋γも鋭角ですね！
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年４月１０日付け）
複素数のかけ算で、
((143・ｉ)/343 + (180
)/343)((239・ｉ)/4802+ (2769
)/4802)((72061・ｉ)/1647086 + (950035)/1647086)=ｉ/2 +
/2より arg[ｉ/2 +
/2]=π/6よおすけさんからのコメントです。（平成２４年４月１０日付け）
土筆の子さん、S(H)さん、ありがとうございます。この問題は、特に、sinαの分母・分子の
値が非常に大きいので、「電卓を用意してください。」としています。
裏話をいえば、α+β+γ=30°となるようなsinα、sinβ、sinγの組合せを見つけるのに
非常に苦労しました。これら３つは、いずれも相違なる値、分子に
を含まないという条件をつけて探し当てたものです。
ちなみに、sinα=72061/1647086 は、以下のように見つけました。
関数電卓で、30-arcsin(143/343)-arcsin(239/4802)=2.507525088・・・
sin(2.507525088・・)=0.04375059954・・・
その「0.04375059954・・・」を分数で表した値が、「72061/1647086」です。これでも、分母が
小さい値を見つけたつもりなのでその点はご理解ください。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年４月１０日付け）
ｓｉｎβ、ｓｉｎγを、 |ｐ2-3ｑ2|/(ｐ2+3ｑ2) という風に構成すれば、ｓｉｎα＝ｓｉｎ(30°-β-γ)
を有理数にできますね。
例えば、ｓｉｎβ＝1/7 （ｐ=2、ｑ=1 のとき）、ｓｉｎγ＝11/43 （ｐ=4、ｑ=3 のとき）とすれば、
ｓｉｎα＝｛3・（4/7）（24/43）-3・（1/7）（24/43）-3・（4/7）（11/43）-（1/7）（11/43）｝/2
＝73/602