上図のような縦４０ｍ、横５０１ｍの長方形の形をした土地があり、格子状に、縦１０ｍ、
横３ｍの区画に分けられている。区画は全部で、６６８ ある。この土地の上空を、地点Ａ
から地点Cまで飛行機が通過することになり、その迷惑料が通過する土地に支払われる
ことになった。飛行機の経路は直線で、幅がないものとする。
いったい何区画が該当するであろうか？
（答） １７０区画
ＫＳさんに解説をいただきました。（平成２７年５月１１日付け）
区画の長さは、本質的ではなく、1×1で考えてもよい。すると、タイルを、４×１６７枚敷い
たとみなせる。そうすると、公式Ａ×Ｂのとき、角から角まで細く切断するとき、切断されるタ
イルの数は、Ａ＋Ｂ−(Ａ，Ｂ) で与えられる。ただし、(Ａ，Ｂ)はＡとＢの最大公約数。
問題に適用すると、４+１６７-１=１７０ を得る。
（コメント） ＫＳさん、解説ありがとうございます。私も久しぶりに解答を考えてみました。
問題は、
０≦（４/１６７）ｘ≦１、１＜（４/１６７）ｘ≦２、２＜（４/１６７）ｘ≦３、３＜（４/１６７）ｘ≦４
を満たす数が含まれる区間（端点が整数）の個数を求める問題なので、
０≦（４/１６７）ｘ≦１から、 ０≦ｘ≦１６７/４＝４１．７５ より、 ４２−０＝４２個
１＜（４/１６７）ｘ≦２から、 ４１．７５＜ｘ≦８３．５ より、 ８４−４１＝４３個
２＜（４/１６７）ｘ≦３から、 ８３．５＜ｘ≦１２５．２５ より、 １２６−８３）＝４３個
３＜（４/１６７）ｘ≦４から、 １２５．２５＜ｘ≦１６７ より、 １６７−１２５＝４２個
以上から、求める個数は、 ４２＋４３＋４３＋４２＝１７０（個）
Ａ＋Ｂ−(Ａ，Ｂ) は素敵な公式ですね！
ＫＳさんから続編を頂きました。（平成２７年５月１２日付け）
空間のとき、小立方体を積んで、Ａ×Ｂ×Ｃのおおきな直方体を作ります。角から角まで
細い針で串刺しにすると、いくつの小立方体を突き刺すか。
については、公式 Ａ＋Ｂ＋Ｃ−(Ａ，Ｂ)−(Ｂ，Ｃ)−(Ｃ，Ａ)＋(Ａ，Ｂ，Ｃ) があります。