当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２７年１１月２日付け）
３種類のおもり○、◎、●がある。
○3個＋◎1個が●2個とつり合い、◎4個が○2個＋●3個とつり合う。
このとき、●7個とつり合うには、○と◎がそれぞれ何個ずつ必要か。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２７年１１月２日付け）
（一部加筆させていただきました。ご了承ください。）
３○＋◎＝２●、２○−４◎＝−３● から、○＝（５/１４）●、◎＝（１３/１４）● なので、
○ ： ◎ ： ● ＝ ５ ： １３ ： １４ となる。
そこで、○＝５ｋ、◎＝１３ｋ、●＝１４ｋ （ｋは比例定数） とおける。
このことから、○をｘ個、◎をｙ個用いるとして、５ｘ＋１３ｙ＝９８ なる不定方程式が成り立つ。
５・（−５）＋１３・２＝１ より、 ５・（−４９０）＋１３・１９６＝９８ なので、
５（ｘ＋４９０）＋１３（ｙ−１９６）＝０ すなわち、 ５（ｘ＋４９０）＝１３（１９６−ｙ）
よって、 ｘ＝−４９０＋１３ｍ 、 ｙ＝１９６−５ｍ （ｍは整数）
−４９０＋１３ｍ＞０ かつ １９６−５ｍ＞０ を解くと、 ４９０/１３＜ｍ＜１９６/５ なので、
ｍは整数より、 ｍ＝３８、３９
よって、 ｍ＝３８ のとき、 ｘ＝４ 、ｙ＝６
ｍ＝３９ のとき、 ｘ＝１７ 、ｙ＝１
したがって、 ○が4個、◎が6個 または、 ○が17個、◎が1個
よおすけさんから解答をいただきました。（平成２７年１１月４日付け）
用意していた解法です。
○3個＋◎1個＝●2個、◎4個＝○2個＋●3個より、
○6個＋◎2個＝●4個、◎4個＝○2個＋●3個なので、 ○6個＋◎6個＝●7個＋○2個
よって、 ○4個＋◎6個＝●7個 ・・・(1)
当初はここまででしたが、もう1通りあったことが判ったので、更に続けます。
○3個＋◎1個＝●2個より、○21個＋◎7個＝●14個
(1)より、○4個＋◎6個＝●7個なので、○17個＋◎1個＝●7個 ・・・(2)
(1)、(2)より、●7個は、○4個と◎6個または○17個と◎1個に等しい。
（コメント） よおすけさんの解法だと、解は２通りだけというのが少し弱いような気がする。