正四角錐の表面積　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年３月６日付け）

　底面積の対角線の長さが１２cm、高さが１２cmの正四角錐の表面積を求めなさい。







































（答）　正四角錐は、底面が正方形の直錐であるので、側面の２等辺三角形の底辺の長さ
　　　は、６で、高さは、９となる。

　　したがって、正四角錐の表面積は、

　　　（６）²＋４×６×９÷２＝７２＋２１６＝２８８（cm²）


（コメント）　底面の２対角線をそれぞれ同一直線上で移動させて、端点が合うように同積変
　　　　　　形すると、３面が短辺１２cmの直角二等辺三角形である正三角錐になるという、
　　　　　　らすかるさんの発想にとても興味を覚えました。（平成２６年３月６日付け）

　カルピスさんも同様の結果を得られました。（平成２６年３月６日付け）


　よおすけさんから解答を頂きました。（平成２６年３月７日付け）

　とりあえず、三平方の定理を使った解法を挙げますが、大人げないでしょう。

　正四角錐をA-BCDEとおく。底面積は正方形BCDEで、対角線が12cmだから、
BC=CD=DE=EB=6（cm）。よって、底面積は、6×6=72（cm²）。

　また、対角線BDの中点をHとすると、BH=6（cm）、AH(高さ)=12（cm）より、直角三角形ABH
の残りの辺ABの長さは、三平方の定理より、AB=6(cm)。

　ここで、側面積のうち、△ABCについて求める。

　BCの中点をH’とおくと、BH’=3（cm）、AB=6（cm）より、直角三角形ABH’の残りの
辺AH’の長さは、三平方の定理より、AH’=9（cm）

　△ABCの面積は、6×9÷2=54（cm²）で、側面積は△ABCの面積を4倍すればよい
から、216cm²。

よって、正四角錐の表面積は底面積と側面積を合わせればよいから、72＋216=288(cm²)。

※うまくやれば、小学6年の知識で解けそうなのですが、思いつきません。