面積の計算4                             戻る

 次の問題は、発想がとても面白い問題である。

 直径の両端を A、Bとする半径1の半円Oがある。半円の弧AB上を点Aより点Bまで点P
が移動する。

 さらに、線分APに関して中心Oの反対側に、△APQが正三角形になるように点Qを取る。

        

 このとき、線分AQが通過する領域の面積を求めよ。



















(答) この問題を、次のように解いてしまったら大人げないだろう。

   ABを始線、Aを極とする極座標で考える。

  点Q( r ,θ )とすると、点P( r ,θ−π/3 )なので、

     r=2cos(θ−π/3) 、 π/3≦θ≦π/2+π/3

  このとき、求める面積 S は、

  

  である。

   実は、求める面積は、半円Oの面積に等しい。このことに気がつけば、積分を用いなく
  ても答えは暗算で求められることだろう。

   このことは、当HPがいつもお世話になっているHN「FN」さんも指摘されている。
                                     (平成22年11月27日付け)

     ABを直径とする半円(内部を含む)をSとし、線分AQ全体がつくる図形をTとすれば、

    TはSをAのまわりに60°回転した図形である。・・・・・(*)

     従って、Tの面積はSの面積と同じで、π/2である。

    (*)は証明すべきかもしれませんが、ほとんど明らかとも言えます。


(コメント) FNさん、ありがとうございます。

  上記の(*)については、証明を考えました。

  r=2cos(θ−π/3)=cosθ+sinθ より

    r2=r・cosθ+r・sinθ  すなわち、 x2+y2=x+

   よって、 (x−1/2)2+(y−/2)2=1 より、点Qは、中心(1/2 ,/2)、半径1

  の半円上を動くことが分かる。

(コメント) 上記の(*)の証明ですが、ここはもっと軽妙に、

  2点P、Qは常に、AP=AQ、 ∠PAQ=60°である。よって、点Qの描く軌跡は

 点Pの描く軌跡と合同である


ことからも察することが出来ると思います。