面積計算21 　 　 　 　 　 　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　半径２の四分円ＯＡＢにおいて、弧ＡＢ上に∠ＡＯＰ＝θとなる点Ｐをとり、ＯＢを直径とする
半円と半径ＯＰの交点をＱとおく。このとき、下図の黄色部分の面積Ｓの最小値を求めよ。

　　































（答）　下図において、∠ＢＭＱ＝φ とおく。

まず、θ＋φ/２＝π/２　より、　２θ＝π−φ　である。 　このとき、 　Ｓ＝（π−φ）/２−（１/２）ｓｉｎ（π−φ）＋２（π/２−θ） 　　　−（１/２）ｓｉｎ（π−φ）−φ/２ すなわち、　Ｓ＝π/２−ｓｉｎ２θ　と書ける。

　よって、Ｓ’＝−２ｃｏｓ２θ＝０　を解いて、　θ＝π/４

　この前後で、Ｓは減少から増加に変わるので、θ＝π/４でＳは極小かつ最小である。

したがって、Ｓの最小値は、　Ｓ＝π/２−１　　（終）


（コメント）　上図で、弧ＡＰ＋弧ＱＢは、θに無関係な一定数 π になるところが面白い。

　実際に、　弧ＡＰ＋弧ＱＢ＝２θ＋φ＝π　が成り立つ。


　DD++ さんより別解をいただきました。（令和５年５月１０日付け）

　次のように考えても出来ますね。

　点 P を反時計回りにほんのちょっと動かして点 P’ にしたとき、点 Q もほんのちょっと動
いて Q’ になったとします。動かしたのがほんのちょっとなので、弧 PP’ や弧 QQ’ は非常
に短い線分とみなせます。

　黄色部分の面積は、四角形 PP’Q’Q 分だけ増えて、三角形 OQQ’ 分だけ減ります。

　四角形 PP’Q’Q は、△OPP’ から△OQQ’ を切り落としたものであること、

　△OPP’と△OQQ’の面積比 OP*OP’：OQ*OQ’は、OP²：OQ² とみなせること、

この２つを考えると、

　OQ/OP が 1/ より大きければ、黄色部分は減少、小さければ黄色部分は増加する

ことがわかります。

　よって、黄色部分の面積が最小となるのは、cos(π/2-θ)=1/ 即ち、θ=π/4 のとき。

そのときの値は、黄色部分をうまく移動して考えれば、扇型 OPB から三角形 OQB を引け

ばいいので、π/２−１



　　以下、工事中！