下図のように、ＡＢ＝８、ＡＣ＝６の直角三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上に、ＡＤ＝２、辺ＡＣ
上に、ＡＥ＝４となる点Ｄ、Ｅをとる。また、線分ＢＥと線分ＣＤの交点をＰとする。
このとき、四角形ＡＤＰＥの面積を求めよ。
（出典：ラ・サール中学 入試問題（２０１９） 改題）
（答） 点Ｄより、辺ＡＣに平行な線を引き、線分ＢＥとの交点をＦとおく。
このとき、△ＡＢＥ∽△ＤＢＦ から、ＡＥ ： ＤＦ＝８ ： ６ なので、 ＤＦ＝（３/４）ＡＥ＝３
また、△ＣＥＰ∽△ＤＦＰ なので、 △ＣＥＰ ： △ＤＦＰ＝２2 ： ３2＝４ ： ９
よって、△ＣＥＰ＝４Ｓ とおくと、 △ＤＦＰ＝９Ｓ
求める四角形ＡＤＰＥの面積をＴとおくと、
△ＡＤＣ＝Ｔ＋４Ｓ＝２・６/２＝６
台形ＡＤＦＥ＝Ｔ＋９Ｓ＝（３＋４）・２/２＝７
連立方程式を解いて、 Ｔ＝２６/５ である。 （終）
別解として、座標を設定して解くことも出来る。問題解法の面白さは半減してしまうが．．．。
（別解） Ａ（０，０）、Ｂ（８，０）、Ｃ（０，６）、Ｄ（２，０）、Ｅ（０，４）とおくと、
直線ＢＥの方程式は、 ｙ＝−（１/２）ｘ＋４ 、直線ＣＤの方程式は、 ｙ＝−３ｘ＋６
なので、連立して、 Ｐ（４/５，１８/５） となる。
よって、四角形ＡＤＰＥの面積＝４・（４/５）・（１/２）＋２・（１８/５）・（１/２）＝２６/５ （終）
他の別解をいろいろ考えてみよう。
（別解） メネラウスの定理より、 （２/４）・（８/６）（ＤＰ/ＰＣ）＝１ なので、 ＤＰ/ＰＣ＝３/２
すなわち、 ＤＰ ： ＰＣ＝３ ： ２ である。
このとき、 △ＡＤＣ＝２・６・（１/２）＝６ から、 △ＣＥＰ＝６×（２/５）×（１/３）＝４/５
したがって、 四角形ＡＤＰＥの面積＝６−４/５＝２６/５ （終）
（別解） ＤＦ＝３ で、△ＣＥＰ∽△ＤＦＰ より、 ＥＰ ： ＰＦ＝２ ： ３ なので、
△ＤＦＰ＝３・（２×（３/５））・（１/２）＝９/５
よって、四角形ＡＤＰＥの面積＝（３＋４）・２・（１/２）−９/５＝２６/５ （終）
以下、工事中！