面積の計算11                               戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (令和元年9月16日付け)

 (x[n+1],y[n+1])=−{(1,√3),(-√3,1)}・(x[n],y[n]) (n=0、1、2、・・・)
 ただし、x[0]=2、y[0]=0 とする。

によって定義される座標平面上の点(x[n],y[n])をP[n]とするとき、△P[n]P[n+1]P[n+2]の面
積を求めよ。




































(答) らすかるさんが考察されました。(令和元年9月16日付け)

 −{(1,√3),(-√3,1)} は、120°回転して原点からの距離を2倍にする1次変換である。

 (1,0) を120°回転だけすると、(-1/2,√3/2)、(-1/2,-√3/2)、(1,0)、… のようになる
ので、それを2倍、4倍、8倍して、

 P[0]=(2,0) 、P[1]=(-2,2√3) 、P[2]=(-4,-4√3)

 △P[0]P[1]P[2]=6×6√3-(4×2√3+2×6√3+6×4√3)÷2=14√3

 一つ先の三角形は相似比2倍なので、面積は4倍となる。

 よって、 △P[n]P[n+1]P[n+2]=4^n・14√3