円 ｘ2＋ｙ2＝１ 外の１点Ａ（−２，０）から円と２点Ｐ、Ｑで交わる直線を引く。
このとき、点Ｂ（１，０）を頂点とする△PBQの面積の最大値を求めよ。
(出典：青山学院大学理工学部（１９８９年）)
（答） 線分PQの中点をＭとおくと、PQ⊥ＯＭである。そこで、∠ＰＯＭ＝θとおくと、
ＰＱ＝２ｓｉｎθ （０＜θ＜π/２）
このとき、 ＯＭ＝ｃｏｓθ で、△PBQのＰＱを底辺とする高さは、（３/２）ｃｏｓθ
よって、△PBQ＝２ｓｉｎθ・（３/２）ｃｏｓθ・（１/２）＝（３/４）ｓｉｎ２θ
０＜２θ＜π より、 θ＝π/４のとき、Ｓは最大値３/４をとる。 （終）
（コメント） この問題で、点Ａを通る直線の方程式を、ｙ＝ｍ（ｘ＋２） として解こうとすると、
膨大な計算の嵐が待っている。ここは、軽妙に上記のように解くのがエレガントだ
ろう。
らすかるさんから別解をいただきました。（令和元年６月１４日付け）
（別解） AO：AB＝2：3 から、△PBQ=(3/2)△POQ なので、
△PBQが最大 ⇔ △POQが最大
△POQは、OPが底辺と考えると、高さが最大になるのは、∠POQが直
角のときで、高さ＝1
よって、△POQの面積は、最大 1/2 なので、△PBQの面積の最大値は、
(1/2)(3/2)＝3/4 （終）
（コメント） なるほど！三角関数を出すまでもなかったわけですね．．．。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（令和元年６月１４日付け）
面積は、 3*Abs[(m*Sqrt[1-3*m^2])/(1 + m^2)] で、膨大[な計算の嵐]とまでは云い難い。
m =1/Sqrt[7]のとき、最大値 3/4 である。
（コメント） 上記のＳ（Ｈ）さんからのコメントに背中を押されて、実際に計算してみた。
点Ｐ（−２，０）を通る直線の方程式を、ｙ＝ｍ（ｘ＋２） とおく。
円 ｘ2＋ｙ2＝１ と連立して整理すると、 （１＋ｍ2）ｘ2＋４ｍ2ｘ＋４ｍ2−１＝０
Ｐ（α，ｍ（α＋２））、Ｑ（β，ｍ（β＋２））とすると、
α＋β＝−４ｍ2/（１＋ｍ2） 、αβ＝（４ｍ2−１）/（１＋ｍ2） から、
ＰＱ2＝（１＋ｍ2）（α−β）2＝４（１−３ｍ2）/（１＋ｍ2）
また、点Ｑ（１，０）と直線 ｙ＝ｍ（ｘ＋２） との距離ｈは、 ｈ2＝９ｍ2/（１＋ｍ2）
よって、△PBQの面積をＳとおくと、
Ｓ2＝９ｍ2（１−３ｍ2）/（１＋ｍ2）2
ここで、ｍ2＝ｔ とおくと、０＜ｔ＜１/３ で、 ｙ＝ｔ（１−３ｔ）/（１＋ｔ）2 とおくと、
ｙ’＝（１−７ｔ）/（１＋ｔ）2 から、ｔ＝１/７ で、ｙは極大かつ最大となる。
よって、ｙの最大値は、ｙ＝１/１６ なので、△PBQの面積の最大値は、３/４ （終）
（コメント） 確かに、計算の嵐とまではいかないまでも結構ハードな計算でした。