長方形ABCDにおいて、AC上に点Eをとり、線分EDを２：３に内分する点をＦ、ＢＦとACの
交点をＧとする。このとき、△AED＝７０、△EFG＝１２、△ABG＝１００である。
次の問いに答えよ。
（１） 長方形ABCDの面積を求めよ。
（２） 辺ＢＣの中点をＨとするとき、△EHFの面積を求めよ。
（答） （１） △ＦGD＝１８ より、△ＥＧＤ＝３０ なので、 ＡＥ：ＥＧ＝７０：３０＝７：３
よって、△ＥＢＧ＝１００×３/１０＝３０ より、 △ＥＢＦ＝４２
これより、 △ＦＢＤ＝４２×３/２＝６３ なので、
長方形ＡＢＣＤ＝２×（１００＋７０＋１２＋６３）＝４９０
（２） △ＥＢＣ＝△ＥＢＧ＋△ＧＢＣ＝３０＋（２４５−１００）＝１７５ なので、△ＥＢＨ＝１７５/２
また、△ＤＨＣ＝２４５/２ なので、△ＥＨＦ＝Ｓ とおくと、
長方形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＥ＋△ＥＢＨ＋△ＡＥＤ＋Ｓ＋（３/２）Ｓ＋△ＤＨＣ
より、 ７０＋１７５/２＋７０＋（５/２）Ｓ＋２４５/２＝４９０ なので、 Ｓ＝５６
らすかるさんから別解をいただきました。（令和元年５月２４日付け）
（１） Fを通りACに平行な直線とBDの交点をPとすると、BO：OP：PD=5：2：3 なので、
EO：FP=5：3、FP：GO=7：5 から、EO：GO=7：3 すなわち、EG：GO=4：3
AG：AE=△ABG：△ADE=10：7 なので、AE：EG=7：3
従って、AE：EG：GO=28：12：9 から、AE：AO=4：7 なので、
求める面積は、70×(7/4)×4=490
（１）(別解の別解です)
メネラウスの定理により、△DEOで、EG/GO=(EF/FD)(DB/BO)=4/3
AG：AE=△ABG：△ADE=10：7 なので、AE：EG=7：3
従って、AE：EG：GO=28：12：9 から、AE：AO=4：7 なので、
求める面積は、70×(7/4)×4=490
（２） HDとACの交点をQとすると、AQ：QC=2：1 となることから(※)、EQ：AQ=4：7
よって、 △EHF=(2/5)△EHD=(2/5)(4/7)△AHD=(2/5)(4/7)(1/2)(長方形ABCD)=56
(※)Qが△BCDの重心であることからただちにわかります。