当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＳＨ」さんからＨＮ「壊れた扉」さんの問題をご紹介
いただきました。（平成２８年７月２２日付け）
左図のように放物線 ｙ＝ｘ2 上の２点Ａ、Ｂに対して、ｘ
軸上に△ＯＡＢ＝△ＯＡＣとなるように点Ｃをとる。
このとき、点Ｂを通り、四角形ＯＡＢＣの面積を２等分す
る直線の方程式を求めよ。
（答） 壊れた扉さんによれば中学生用の問題とのことで、「数学好きな人は挑戦してみてく
ださい」ということなので挑戦してみました。（平成２８年７月２２日付け）
まず、Ａ（−４，１６）、Ｂ（２，４）で、直線ＡＯの式は、 ｙ＝−４ｘ
△ＯＡＢ＝△ＯＡＣより、ＡＯとＢＣは平行なので、直線ＢＣの式は、 ｙ＝−４ｘ＋１２
よって、 Ｃ（３，０） である。そこで、Ｄ（−１，４）をとると、点Ｄは直線ＡＯ上の点で、
四角形ＯＡＢＣ＝３×４＋３×１２÷２＝３０
となり、求める直線は、線分ＡＤを５：１に分ける点（−３/２，６）を通る。
よって、 ｙ＝−（４/７）ｘ＋３６/７
（コメント） 答えは合っているかな？
DD++さんからのコメントです。（平成２８年７月２２日付け）
四角形OBCDが平行四辺形になるように点Dを取ると、D(1，-4)
四角形OABC=三角形ABDなので、ADの中点M(-3/2，6)を通るように直接を引けばよく、
求める方程式は、 y=(-4/7)x+36/7
＃実用的な解法って、これ1つしかないような．．．。2通りというのはこれに並ぶ簡素な計算
の別解があるのか、はたまた愚直に計算するのもやってほしい意図なのか……。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年７月２２日付け）
ほぼ同じですが、もう1通り。
四角形ABCDが平行四辺形になるように点Dを取ると、D(-3,12)
△ABD=△OBCなので、ODの中点M(-3/2,6)を通るように直接を引けばよく、求める方程式
は、y=(-4/7)x+36/7
DD++さんからのコメントです。（平成２８年７月２２日付け）
なるほど、そっちもありましたか。中点以外の内分点とか傾きを使って方程式とかは高校
入試としてはちょっと辛そう……。
（コメント） なるほど！DD++さん、らすかるさんの解答は何れも等積変形で四角形の面積を
三角形の面積に帰着させる方法ですね。感動しました。私の解法は、多分設問の
流れに従った解答と思われます。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年７月２２日付け）
Ａ（−４，１６）、Ｂ（２，４）で、直線ＡＯの式は、 ｙ＝−４ｘ
△ＯＡＢ＝△ＯＡＣより、ＡＯとＢＣは平行なので、直線ＢＣの式は、 ｙ＝−４ｘ＋１２
よって、 Ｃ（３，０） である。
このとき、四角形ＯＡＢＣの面積は、
（１/２）｜（−４）・４−１６・２｜＋（１/２）｜２・０−４・３｜＝３０
点Ｂ（２，４）を通り、四角形ＯＡＢＣの面積を２等分する直線の方程式は、傾きをｍとして、
ｙ＝ｍ（ｘ−２）＋４
直線 ｙ＝−４ｘ との交点の座標は、Ｄ（（２ｍ−４）/（ｍ＋４），−４（２ｍ−４）/（ｍ＋４））
△ＡＢＤの面積は、
（１/２）｜（−６）・（−１２ｍ/（ｍ＋４））−１２・（−１２/（ｍ＋４））｜＝３６｜（ｍ＋２）/（ｍ＋４）｜
よって、 ３６｜（ｍ＋２）/（ｍ＋４）｜＝３０/２ を解き、ｍ＝−４/７（適）、−４４/１７（不適）
以上から、求める直線は、 ｙ＝−（４/７）（ｘ−２）＋４＝−（４/７）ｘ＋３６/７