当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年６月８日付け）
△ABCの各辺BC、CA、ABをそれぞれ５：３に内分する点をP、Q、Rとし、AP、BQ、CRの長
さの三辺を持つ三角形を作ると面積が１９６になった。
このとき、元の△ABCの面積は？
（答） Ｓ（Ｈ）さんから、答え「２５６」をいただきました。（平成２７年６月８日付け）
Ｓ（Ｈ）さんからの続報です。（平成２７年６月１４日付け）
（1/2)Det{{ax, ay, 1}, {0, 0, 1}, {49/8 + (5 ax)/8, (5 ay)/8, 1}} = 196 を解き、ay=64
△ABC=(1/2)Det[{{ax, ay, 1}, {-5, 0, 1}, {3, 0, 1}}] に、ax=2、ay=64 を代入して、256 を得る。
GAI 様は如何されたのでしょうか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年６月１５日付け）
AB=b=(x1，y1)、AC=c=(x2，y2) で表しておくと、
AP=p=(1-t)b+tc (0＜t＜1) 、QB=q=b-(1-t)c
このとき、△ABCの面積L=Det[b,c]/2=|x1y2-x2y1|/2
一方、３つの長さで構成した三角形でAPの辺は固定して、BQの辺をQ→Aへ、CRの辺を
C→Pへ平行移動させできたものを△AB'P （B'はBが移動してできた頂点）とすると、この面積
K=Det[p,q]/2=(t2-t+1)|x1y2-x2y1|/2=(t2-t+1)L
t のいろいろな値に対して（内分する比として解釈）K、Lの関係を調べたら、
1：1 → K=3/4*L 、2：1 → K=7/9*L 、3：1 → K=13/16*L 、3：2 → K=19/25*L
4：1 → K=21/25*L 、4：3 → K=37/49*L 、5：1 → K=31/36*L 、
5：2 → K=39/49*L 、5：3 → K=49/64*L 、5：4 → K=61/81*L 、･･････････････
これらの中で、数値的に面白かった「5：3」を選んで出題しました。
（コメント） 面白そうだったので計算してみた。
ＡＢ＝８ｂ、ＡＣ＝８ｃ とおくと、ＡＱ＝３ｃ、ＡＲ＝５ｂ
このとき、 ＡＳ＝８ｂ＋８ｃ−５ｂ＝３ｂ＋８ｃ なので、
ＢＳ＝３ｂ＋８ｃ−８ｂ＝−５ｂ＋８ｃ
ＢＱ＝３ｃ−８ｂ
そこで、 ｜ｂ｜＝ｍ、｜ｃ｜＝ｎ、∠ＢＡＣ＝θとおくと、 ｂ・ｃ＝ｍｎｃｏｓθ
よって、｜ＢＳ｜2＝２５ｍ2−８０ｍｎｃｏｓθ＋６４ｎ2
｜ＢＱ｜2＝６４ｍ2−４８ｍｎｃｏｓθ＋９ｎ2
ＢＳ・ＢＱ＝（−５ｂ＋８ｃ）・（３ｃ−８ｂ）＝４０ｍ2−７９ｍｎｃｏｓθ＋２４ｎ2
より、
｜ＢＳ｜2｜ＢＱ｜2−（ＢＳ・ＢＱ）2＝２４０１ｍ2ｎ2（１−ｃｏｓ2θ）＝２４０１ｍ2ｎ2ｓｉｎ2θ
よって、 △ＢＳＱ＝（４９/２）ｍｎｓｉｎθ となる。
問題の条件より、 （４９/２）ｍｎｓｉｎθ＝１９６ なので、 ｍｎｓｉｎθ＝８ となる。
したがって、元の△ＡＢＣの面積Ｔは、
｜ＡＢ｜2＝６４ｍ2、｜ＡＣ｜2＝６４ｎ2、ＡＢ・ＡＣ＝６４ｍｎｃｏｓθ より、
４Ｔ2＝４０９６ｍ2ｎ2−４０９６ｍ2ｎ2ｃｏｓ2θ＝４０９６ｍ2ｎ2ｓｉｎ2θ なので、
２Ｔ＝６４ｍｎｓｉｎθ より、 Ｔ＝３２ｍｎｓｉｎθ＝２５６ である。
（コメント） Ｓ（Ｈ）さんの結果と一致しているので、安心しました！ただ、計算が煩雑なのが
玉に瑕。図形的に解決することはできないものかと思案してみました
上図において、 ＡＰとＱＳは平行なので、ＰＤ：ＤＣ＝ＡＱ：ＱＣ＝３：５
よって、 ＱＤ：ＤＳ＝５：３
ＡＣとＰＳは平行なので、ＢＤ：ＤＣ＝５＋９/８：１５/８＝４９：１５
△ＢＳＱ＝１９６ なので、 △ＢＤＱ＝１９６×（５/８）＝２４５/２
△ＢＣＱ＝（２４５/２）×（６４/４９）＝１６０ より、 △ＡＢＣ＝１６０×８/５＝２５６
（コメント） こちらの初等幾何的解法の方が簡単でした！
（追記） 三角形の縮小群と題して、ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２７年６月１６日付け）
面積１の△ABCの辺AB、AC上に、s：1-s、t：1-t の比にそれぞれ内分する点をD、Eとす
る。(0＜s、t＜1) 線分CD、BEの交点をPとするとき、△ABCは５つの三角形△ADE、△BDP、
△CEP、△BCP、△DEPに分かれる。
このとき、それぞれの面積を s、t で表せ。また、この５つの三角形がみんな同じ面積にな
ることはあるか？
Ｓ（Ｈ）さんから答をいただきました。（平成２７年６月１６日付け）
それぞれ st 、(-t+2st-s2t)/(-1+st)、(-s+2st-st2)/(-1+st)、-(-1+s)(-1+t)/(-1+st)、
(-st+s2t+st2-s2t2)/(-1+st)
公平に分けることが叶うか？
（コメント） 面白そうだったので計算してみた。
ＡＤ：ＤＢ＝ｓ：１−ｓ 、ＡＥ：ＥＣ＝ｔ：１−ｔ 、△ＡＤＥ＝ｘ とおくと、
△BDP＝（１−ｓ）2ｘ/｛ｓ（１−ｓｔ）｝、△CEP＝（１−ｔ）2ｘ/｛ｔ（１−ｓｔ）｝、
△BCP＝（１−ｓ）（１−ｔ）ｘ/｛ｓｔ（１−ｓｔ）｝、△DEP＝（１−ｓ）（１−ｔ）ｘ/（１−ｓｔ）
△ＡＤＥ＋△BDP＋△CEP＋△BCP＋△DEP＝１ なので、 ｘ/（ｓｔ）＝１ より、 ｘ＝ｓｔ
よって、 △ＡＤＥ＝ｓｔ 、 △BDP＝（１−ｓ）2ｔ/（１−ｓｔ）、△CEP＝（１−ｔ）2ｓ/（１−ｓｔ）、
△BCP＝（１−ｓ）（１−ｔ）/（１−ｓｔ）、△DEP＝（１−ｓ）（１−ｔ）ｓｔ/（１−ｓｔ）
（Ｓ（Ｈ）さんの結果と一致して安心しました！）
試しに、 ｓｔ＝（１−ｓ）（１−ｔ）ｓｔ/（１−ｓｔ） と置いてみると、 （２ｓ−１）（２ｔ−１）＝１
この等式を満たす ｓ、ｔ は、0＜s、t＜1の範囲には存在しない。
よって、５つの三角形がみんな同じ面積になることはない。
ＫＳさんからのコメントです。（平成２７年６月１７日付け）
三角形の内分点で作る内部の三角形の面積を計算する公式を作ってみました。
△ＡＢＣの面積をＴとする。ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの内分点の比を、１：ｎ1、１：ｎ2、１：ｎ3 とし、頂点
ＡとＢＣの内分点、頂点ＢとＣＡの内分点、頂点ＣとＡＢの内分点を結び、中にある囲まれた三
角形の面積をＳとすると、一般に、次の式で与えられる。
Ｓ＝（1/3）｛（１−２ｎ1＋ｎ1ｎ2）/（１＋ｎ1＋ｎ1ｎ2）
＋（１−２ｎ2＋ｎ3ｎ2）/（１＋ｎ2＋ｎ3ｎ2）＋（１−２ｎ3＋ｎ1ｎ3）/（１＋ｎ3＋ｎ1ｎ3）｝Ｔ
したがって、よくある１：２の内分で作られる三角形の比は、元の三角形の面積の７分の１
となることが分かります。
平行四辺形ＡＢＣＤの面積をＴとする。辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡの内分点の比を、それぞれ
1：ｍ1、１：ｍ2、１：ｍ3、１：ｍ4 とし、頂点ＡとＢＣの内分点、頂点ＢとＣＤの内分点、頂点Ｃ
とＤＡの内分点、頂点Ｄと辺ＡＢの内分点を結び、中に囲まれる四角形の面積をＳとすると、
一般に、次の式が得られる。
Ｓ＝（1/4）｛（ｍ1−ｍ2＋ｍ1ｍ2）/（２＋ｍ1＋ｍ2＋ｍ1ｍ2）
＋（ｍ2−ｍ3＋ｍ2ｍ3）/（２＋ｍ2＋ｍ3＋ｍ2ｍ3）
＋（ｍ3−ｍ4＋ｍ3ｍ4）/（２＋ｍ3＋ｍ4＋ｍ3ｍ4）
＋（ｍ4−ｍ1＋ｍ4ｍ1）/（２＋ｍ4＋ｍ1＋ｍ4ｍ1））｝Ｔ
特に、正方形の中点を結ぶと、元の５分の１となります。
（生徒からの質問で難儀したので、公式化しました。）