当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年４月１８日付け）
正三角形ABCで辺BC、CA、ABをそれぞれ 3：n-3 に内分する点をそれぞれD、E、Fとする。
（ただし、n＞6 とする。）
今、線分AD、BE、CFの交点がつくる三角形の面積が、ABCの面積の4/49であるという。
ｎは？
（答え） らすかるさんが考察されました。（平成２７年４月１８日付け）
単純に問題の条件からメネラウスの定理を用いて式を立てると、
△ＡＢＣ-3・△ＡＢＣ・（n-3）/n・（3n）/（（n-3）2+3n）
すなわち、小正三角形の面積は大正三角形の面積の (n-6)2/(n2-3n+9) になりますので、
(n-6)2/(n2-3n+9)=4/49 から n=8 と出ます。
これだけでは面白くないので、式をいろいろいじってみました。
BD：DC=3：n-3 のとき、 (n-6)2/(n2-3n+9) なので、
n=3m すなわち 3：3m-3=1：m-1 とすると、 (3m-6)2/{(3m)2-3(3m)+9}=(m-2)2/(m2-m+1)
p=m-1 すなわち 1：m-1=1：p とすると、 (p-1)2/(p2+p+1)
この式はpに1/pを代入すると元の式に戻ります。
1：(1/p)=p：1 なので当然といえば当然です。
ここで、 p=(1+r)/(1-r) とおくと、 1：p=1：(1+r)/(1-r)=1-r：1+r となり、式は、4r2/(r2+3)
という今までで最も簡単な形になります。
rは、BCの中点をMとしたときのDM/BMの値です。この問題では、DM/BM=1/4 ですから、
r=1/4 を 4r2/(r2+3) に代入してみると、確かに4/49になります。
＃正方形ではどういう式になるのか気になって計算してみたところ、正方形では、
r2/(r2-2r+2) となりました。（辺を、1-r：r に内分）