次の問題は、非常に素朴な感じに思えるが、意外と手強い。小学生・中学生では難しいと感
じるであろう。小学生・中学生が習う範囲の解き方で出来た方は、是非塾長宛メールを下さい。
縦・横の長さが不明な長方形ＡＢＣＤがある。ＢＣ上の点ＥとＡを結ぶ線分ＡＥ上に点Ｆをとり、
線分ＤＦを引くと、△ＡＢＥ：△ＡＤＦ：四角形ＥＣＤＦ＝２：３：５ であった。このとき、ＡＦ：ＦＥ は
いくらになるか？
（答） ３：２
（追記） 結論から言えば、この問題は小学生には厳しいが、中学生には適度な思考力が
あれば十分解決できるレベルの問題というように、冒頭を訂正したいと思う。
当初、予定した解答は以下の通りである。
ＢＥ＝２ とすると、△ＡＢＥ＝２ から、ＡＢ＝２（普段、辺の長さから面積を求めているが、面積から
辺の長さを指定することは、多分新鮮な発想だろう！）
このとき、ＥＣ＝Ｘ とおくと、台形ＡＥＣＤの面積から、
(Ｘ＋Ｘ＋２)・２・(１/２)＝８ が成り立ち、Ｘ＝３ である。
よって、△ＤＥＣ＝３・２・(１/２)＝３ より、
△ＤＥＦ＝５−３＝２ となる。
従って、ＡＦ：ＦＥ＝△ＤＡＦ：△ＤＥＦ＝３：２ である。
これに対して、柳本さんという方から、次のような解を頂戴した。
小学生・中学生が習う範囲の解き方で出来たかどうかはわかり ませんが、次の様に考
えることができます。ちょっと長くなり ますが、ご容赦を。
１） Ｅより辺ＡＤに垂線をおろし、その足をＧとする。△ＡＢＥの面積が２だから、
長方形ＡＢＥＧの面積は４となる。
２） ＤＥを結ぶ。長方形ＤＣＥＧの面積は６だから、△ＤＥＣの面積は３。
よって△ＥＤＦの面積は２
３） △ＡＤＦ：△ＥＤＦ＝３：２になる。この２つの三角形の底辺をＡＦとＥＦと考えると、
高さは等しいので、面積の違い（比？）は底辺の違い（比？）だけとなる。
よって、ＡＦ：ＦＥ＝３：２
方程式を使わずに、△ＤＥＣ＝３ が示せたのは、十分小学校的だと思います。高さが等し
い三角形の面積比が底辺の比という事実は、十分小学生でも理解できますよね？
解答をお寄せいただいた柳本さんに感謝いたします。
（追々記） 「当初予定した解答」について、「ＢＥ＝２」のときは、確かに「ＡＦ：ＦＥ＝３：２」で
あるが、一般のＢＥの長さに対しても、「ＡＦ：ＦＥ＝３：２」であろうか？というご指摘
を頂いた。このご指摘は、至極もっともなご指摘であるので、上記解答の不備を、
下記のように修正したいと思う。
△ＡＢＥ：△ＡＤＦ：四角形ＥＣＤＦ＝２：３：５ より、ＡＢ＝ａ を用いて、
△ＡＢＥ＝２ａＳ 、△ＡＤＦ＝３ａＳ 、四角形ＥＣＤＦ＝５ａＳ （Ｓ は比例定数）
と書ける。このとき、 ａ×ＢＣ＝１０ａＳ より、ＢＣ＝１０Ｓ 。
また、△ＡＢＥ＝２ａＳ＝(１/２)・ａ・ＢＥ より、ＢＥ＝４Ｓ 。このとき、ＥＣ＝６Ｓ となる。
よって、△ＤＥＦ＝(１/２)・ａ・６Ｓ＝３ａＳ なので、△ＤＥＦ＝５ａＳ−３ａＳ＝２ａＳ
従って、ＡＦ：ＦＥ＝△ＤＡＦ：△ＤＥＦ＝３ａＳ：２ａＳ＝３：２ である。
（追々々記） 平成１７年２月２０日に、ｉ-ｋ さんという方から、非常に小学生的な解答をお寄
せいただいた。ちょっと今まで難しく考えすぎていたみたいです．．．。
長方形ＡＢＣＤの面積が、１０ なので、△ＡＥＤの面積は、５。
よって、△ＦＥＤの面積は、２ となる。このとき、高さが等しい三角形の面積比は底辺の比
に等しいので、ＡＦ ： ＦＥ＝３ ： ２ となる。
解答をお寄せいただいた、ｉ-ｋ さんに感謝いたします。
（追記） 平成２２年２月１７日付け
２月１６日付けで、ある方からメールを頂いた。（一部文言等を修正させていただきました！）
面積比の問題、受験を目指すような小学５・６年生、あるいは中学１年生ならば十分に解
けるのではないでしょうか。
ＡＤに垂直なＦを通る直線をＢＣまで引き、ＡＤとの交点をＧ、ＢＣとの交点を Ｉ とする。長方
形全体の面積は、２ｋ＋３ｋ＋５ｋ＝１０ｋ （ｋ は比例定数）である。
△ＡＤＦの面積は、ＡＤ×ＧＦ/２＝３ｋ で、また、△ＡＤＩ の面積は、ＡＤ×ＧＩ/２＝５ｋ であ
る。このとき、 ＧＩ ： ＧＦ ＝ ５ ： ３ となる。
したがって、 ＡＦ ： ＦＥ ＝ ＧＦ ： ＦＩ ＝ ３ ： ２ となる。
（コメント） 解法の大筋は、上記の ｉ-ｋ さんのものと同じですね！
（追記） 平成２３年１１月８日付けで、Ｔ．Ａ．さんからメールを頂いた。
うちの娘(小５)だとこんな解き方です。合ってますか？
△ABE は、□ABCDの面積の1/5 従って、BEはBCの長さの2/5
BE：EC=2：3 なので、△ABEの面積：△ECDの面積=2：3
□ECDFから△ECDを引いて、△FEDの面積：△ECDの面積=2：3
△AFDと△ECDの面積は等しいので、△AFDの面積：△FEDの面積=3：2
この2つは高さの等しい三角形の底辺であるため、AF：FE=3：2
（コメント） 正解です！面積比から辿っていって結論を得ていますので正に模範解答です。
さらに、Ｔ．Ａ．さんから、もっと簡単だという解を頂いた。
△AED は □ABCDの面積の1/2 →□ABCDの面積を10とすると5
△FEDの面積=△AEDの面積-△AFDの面積=5-3=2
△AFDの面積：△FEDの面積=3：2
この2つは高さの等しい三角形の底辺であるため、AF：FE=3：2
（コメント） この解は、上記の「ｉ-ｋ さんの解答」と同じです。もっとも易しいと思われる解に
辿り着かれましたね！
（追記） 平成２３年１２月１６日付けで、Ｊ．Ｙ．さんから別解をメールで頂いた。
