角の大きさ（６）　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　　四角形ＡＢＣＤにおいて、∠ＡＤＣ＝１００°で、

　　　ＢＤ＝ＢＣ、ＡＣ＝ＡＤ＋ＡＢ、∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ

　のとき、∠ＢＡＤの大きさを求めよ。





（参考：筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編　「Ｃａｆｅ　Ｂｏｌｌｗｅｃｋ　Ｎｏ．�Z」）

































（答）　余弦定理より、　ＢＣ²＝（ａ＋ｂ）²＋ｂ²−２ｂ（ａ＋ｂ）ｃｏｓθ

　　　　　　　　　　　ＢＤ²＝ａ²＋ｂ²−２ａｂｃｏｓ２θ

　条件より、ＢＤ＝ＢＣ　なので、ａ²＋ｂ²−２ａｂｃｏｓ２θ＝（ａ＋ｂ）²＋ｂ²−２ｂ（ａ＋ｂ）ｃｏｓθ

　式を整理して、　４ａｃｏｓ²θ-２（ａ＋ｂ）ｃｏｓθ＋ｂ＝０

　　（２ｃｏｓθ−１）（２ａｃｏｓθ−ｂ）＝０　より、　ｃｏｓθ＝１/２　、ｂ/（２ａ）

　ｃｏｓθ＝１/２　のとき、θ＝６０°から、∠ＢＡＤ＝２θ＝１２０°　となる。

　ｃｏｓθ＝ｂ/（２ａ）　のとき、

　　ＣＤ²＝（ａ＋ｂ）²＋ａ²−２ａ（ａ＋ｂ）ｃｏｓθ＝（ａ＋ｂ）²＋ａ²−ｂ（ａ＋ｂ）＝２ａ²＋ａｂ

　ここで、　ｃｏｓ１００°＝（ａ²＋ＣＤ²−（ａ＋ｂ）²）/（２ａ・ＣＤ）＝（２ａ²−ａｂ−ｂ²）/（２ａ・ＣＤ）

　この式より、ａ、ｂの比例式が求まり、その結果として、ｃｏｓθ＝ｂ/（２ａ）の値が定まり、θ

が確定するわけだが、θは具体的に記述できるのだろうか？


　上記の課題をらすかるさんが解決されました。らすかるさんに感謝します。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年１月４日付け）

　ｃｏｓθ＝ｂ/（２ａ）＝ｔ　とおくと、ＣＤ²/ａ²＝２＋２ｔ

　ｃｏｓ１００°＝（２−ｂ/ａ−ｂ²/ａ²）/（２ＣＤ/ａ）＝（２−２ｔ−４ｔ²）/（２ＣＤ/ａ）

　　　　　　　　＝（１−ｔ−２ｔ²）/（ＣＤ/ａ）＝（１−２ｔ）（１＋ｔ）/（ＣＤ/ａ）

　ここで、ｃｏｓ１００°＜０　なので、１−２ｔ＜０　より、ｃｏｓθ＞１/２　となり、θ＜６０°…(*)

　また、　ｃｏｓ²１００°＝（１−２ｔ）²（１＋ｔ）²/（ＣＤ²/ａ²）＝（１−２ｔ）²（１＋ｔ）²/（２＋２ｔ）

　　　　　　　　　　　　　＝（１−２ｔ）²（１＋ｔ）/２

より、　２ｃｏｓ²１００°＝（１−２ｔ）²（１＋ｔ）＝４ｔ³−３ｔ＋１　なので、ｃｏｓ２００°＝４ｔ³−３ｔ

　ところで、４ｔ³−３ｔ＝４ｃｏｓ³θ−３ｃｏｓθ＝ｃｏｓ３θ　なので、ｃｏｓ３θ＝ｃｏｓ２００°

　（*）より、０°＜θ＜６０°なので、　０°＜３θ＜１８０°

　この範囲で、　ｃｏｓ３θ＝ｃｏｓ２００°を解くと、　３θ＝１６０°より、　θ＝１６０°/３

　したがって、　∠ＢＡＤ＝２θ＝３２０°/３　となる。


（コメント）　途中計算で、２倍角の公式のみならず、３倍角の公式も登場して、圧倒されまし
　　　　　　た。よく考えられた問題ということでしょうか．．．。