当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和６年５月１６日付け）
下図のように、正方形の中に半円と四分円がある。角θの大きさを求めよ。
（出典）【角度当てクイズ Vol.806】 x の角度は何度？(エキサイトニュース)
（答） θ＝１３５°
実際に、下図のように、２円の交点をＰとし、線分ＡＰ、ＢＰ、ＤＰを考える。
∠ＭＢＰ＝α とおくと、接弦定理と中心角の定理から、 ∠ＢＡＰ＝２α である。
また、△ＡＢＰは２等辺三角形なので、 ∠ＡＢＰ＝∠ＡＰＢ＝９０°−α
∠ＰＡＤ＝９０°−２α で、△ＡＰＤは２等辺三角形より、 ∠ＡＰＤ＝∠ＡＤＰ＝４５°＋α
よって、 ∠ＢＰＤ＝（９０°−α）＋（４５°＋α）＝１３５° となる。
したがって、 θ＝３６０°−１３５°−９０°＝１３５° である。 （終）
（コメント） 円周角ＢＡＤの中心角は２７０°なので、 ∠ＢＡＤ＝１３５° であることは、上
記の計算をしなくても直ぐ分かるんですね！
（追記） 令和６年５月１７日付け
交点Ｐの持つ性質について、少し調べてみよう。
Ａ（０，２）を中心とする半径２の四分円 ｘ2＋（ｙ−２）2＝４ と、Ｍ（１，０）を中心とする半径
１の半円 （ｘ−１）2＋ｙ2＝１ の交点Ｐの座標は、連立して、ｙ＝（１/２）ｘ なので、
Ｐ（８/５，４/５） となる。直線ＣＰの方程式は、傾きが −（４/５）/（２−（８/５））＝−２ より、
ｙ＝−２（ｘ−２）＝−２ｘ＋４ となり、 辺ＡＤとＮ（１，２）で交わる。よって、Ｎは辺ＡＤの中点
となる。直線ＢＰの方程式が ｙ＝（１/２）ｘ なので、辺ＣＤと点Ｌ（２，１）で交わる。よって、Ｌは
辺ＣＤの中点となる。
さらに、直線ＡＰの方程式は、傾きが （（４/５）−２）/（８/５）＝−３/４ より、
ｙ＝−（３/４）ｘ＋２ である。
ところで、 円 （ｘ−１）2＋ｙ2＝１ 上の点Ｐ（８/５，４/５）における接線の方程式は、
（ｘ−１）（８/５−１）＋（４/５）ｙ＝１ すなわち、 ３ｘ＋４ｙ＝８ から、 ｙ＝−（３/４）ｘ＋２
したがって、直線ＡＰは、円 （ｘ−１）2＋ｙ2＝１ 上の点Ｐを接点とする接線となっている。
接弦定理から、 ∠ＢＰＡ＝∠ＢＣＰ＝９０°−α で、直線ＢＰと直線ＣＰは垂直なので、
∠ＡＰＮ＝α となる。よって、△ＱＰＮは、ＱＰ＝ＱＮの２等辺三角形になる。
このことから、 ∠ＤＰＮ＝４５° であることが分かる。
したがって、 θ＝１８０°−４５°＝１３５° である。
＃ ∠ＤＰＮ＝４５° であることは、
∠ＤＰＮ＝１８０°−（９０°−α）−（４５°＋α）＝４５° からも分かる。
（コメント） △ＱＰＮは、ＱＰ＝ＱＮの２等辺三角形になるんですね！何となく、問題作成に
使えそう．．．。
以下、工事中！