当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和６年５月４日付け）
下図において、角θの大きさを求めよ。
（答） θ＝１３５°
実際に、線分ＢＡを延長して、Ｄより垂線ＤＦを引き、線分ＡＥとの交点をＧとおく。
△ＡＢＣ∽△ＡＧＦ 、△ＡＧＦ∽△ＤＧＥ なので、 ＧＥ＝（７/１２）×５＝３５/１２
よって、 ＡＧ＝１７−３５/１２＝１６９/１２ より、 ＡＦ＝（１６９/１２）×（１２/１３）＝１３
ここで、 ＡＤ2＝１７2＋７2＝３３８ より、 ＡＤ＝１３
よって、 ＤＦ＝１３ となり、△ＡＦＤは、ＡＦ＝ＦＤの直角２等辺三角形となる。
したがって、 ∠ＤＡＦ＝４５° から、θ＝１８０°−４５°＝１３５° （終）
（コメント） 点と直線の距離の公式を用いるなど、解き方は種々考えられる。
（別解１） ＡＢ＝１３ 、ＡＤ2＝１７2＋７2＝３３８＝２・１６９ より、 ＡＤ＝１３
ＢＤ2＝２９2＋２2＝８４５＝５・１６９ より、 ＢＤ＝１３
余弦定理より、
ｃｏｓθ＝（ＡＢ2＋ＡＤ2−ＢＤ2）/（２ＡＢ・ＡＤ）＝（１６９＋３３８−８４５）/（３３８
）＝−１/なので、 θ＝１３５°
（別解２） Ａを座標軸の原点とし、ＣＥを ｘ 軸にとると、直線ＢＡの方程式は、
ｙ＝−（５/１２）ｘ すなわち、 ５ｘ＋１２ｙ＝０
Ｄ（１７，７）と直線 ５ｘ＋１２ｙ＝０ との距離ＤＦは、
（５・１７＋１２・７）/√（５2＋１２2）＝１６９/１３＝１３
また、ＡＤ2＝１７2＋７2＝３３８＝２・１６９ より、 ＡＤ＝１３
よって、 ＡＦ2＝ＡＤ2−ＤＦ2＝３３８−１６９＝１６９ より、 ＡＦ＝１３
以上から、△ＡＦＤは、ＡＦ＝ＦＤの直角２等辺三角形となる。
したがって、 ∠ＤＡＦ＝４５° から、θ＝１８０°−４５°＝１３５°
カルピスさんからのコメントです。（令和６年５月６日付け）
θ＝１３５°のとき、∠Ｂ＋∠Ｄ（∠ＡＤＥ）＝１３５°で合ってますでしょうか？
（コメント） （９０°−∠Ｂ）＋（９０°−∠ＡＤＥ）＋θ＝１８０° から、
∠Ｂ＋∠ＡＤＥ＝θ＝１３５°
で、合っていますね！
カルピスさんからのコメントです。（令和６年５月７日付け）
問題から、少し外れますが、
２つの「直角三角形同士」が、この「向き」で接していた時、辺の長さが分かっていなくても
必ず、 ∠θ＝∠Ｂ＋∠Ｄ が成り立つ・・・ と、ちょとした公式（大げさ？）の出来上がりに
なるかな？中学入試問題にちょうどいい。
θが１３５°の時、∠Ｂと∠Ｄの和は何度ですか？（直感で、すぐに分かってしまうと思うけど）
（コメント） 点Ａで垂線を立てれば、平行線の錯角の関係から明らかでしょう。
DD++ さんからのコメントです。（令和６年５月７日付け）
△ABC を、A を中心に時計周りに 90° 回転させてから外周が長方形になるよう補助線を
引くと、長方形から３つの直角三角形（うち、２つは合同）を切り落として直角二等辺三角形
が残る図ができます。
よって、 θ−９０°＝４５°より、θ＝１３５°
という解答が一番お手軽ですかね。
＃直角三角形２つで、直角を挟む２辺の長さが
12+5=17 、12-5=7 、17+7=24=12*2 、17-7=10=5*2
みたいな関係のときには、まず、この図を作ることを考えるようにしています。
（コメント） なるほど、上手く、直角２等辺三角形が作れるんですね！気がつきませんでした。
DD++ さんに感謝します。
よおすけさんから別解をいただきました。（令和６年５月７日付け）
別解を見つけたので紹介。
与えられた図で、２辺が ５、１２ の直角三角形を、BC＝５、CA＝１２、∠ACB＝９０°の
△ABC、２辺が ７、１７ の直角三角形を、DE＝７、AE＝１７、∠AED＝９０°の△ADEとする。
点Bを中心とし、反時計回りに点Aを９０°回転させた点と、点Aを中心とし反時計回りに
点Dを９０°回転させた点は、ＡＤ＝ＡＦ＝１３
から一致し、その点をFとすると、AD＝AF および ∠DAF＝９０°
また、これによりできた△FBAは、AB＝BF、∠AFB＝∠BAF＝４５°で、∠ABF＝９０°の
直角二等辺三角形。よって、θ＝∠BAF＋∠DAF＝１３５°
（コメント） よおすけさんからいただいた別解を若干補正させていただきました。趣旨が合う
ようにしたつもりですが、よおすけさん、これで合っていますか？
よおすけさんからのコメントです。（令和６年５月８日付け）
はい。おおむね挙げた通りです。そういえば、もう１つ解答をつくりました。
Aを中心とし、ADを半径とする円、Bを中心とし、ABを半径とする円を描き、２円の交点をF
とする。ABを延長し、円との交点をGとする。
このとき、AD=AF=GF=13
、FD=GA=26 なので、平行四辺形FGADができる。直角２等辺三角形BFGにおいて、∠AGF=45°となる。
AD//GFより、θ＋45°=180° なので、 θ=135゜ （終）
＃三平方の定理を使わずに角θを割り出せる解法ないかな...と思って投稿しました。
（コメント） 「平行四辺形FGAD」がこの解答のキーワードですが、それを示すために、どうし
ても三平方の定理は必要で、三平方の定理の呪縛からは逃れられないと思います。
よおすけさんからさらなる別解をいただきました。（令和６年５月１０日付け）
上記と冒頭は同じですが、別解がまたできたので紹介。
Aを中心とし、ADを半径とする円、Bを中心とし、ABを半径とする円を描き、２円の交点をF
とする。この時、∠DAF＝90°
点Aから辺DFへ垂線を引き、その交点をGとする。
このとき、∠BAG＝90°で、∠DAG＝∠FAG＝45°
また、∠DAF＝90°、∠FAG＝45°より、∠BAF＝45°
∠BAF、∠FAG、∠DAGはいずれもθの1/3に等しいので、θ＝135° （終）
（コメント） ∠BAG＝90°、∠DAG＝45°から、θ＝135°とした方が速いかな？
以下、工事中！