角の大きさ(28)　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和３年２月５日付け）

　四面体ABCDの６辺の間に、AB²＋２CD²＝AC²＋AD²＋BC²＋BD² の関係があるという。
辺ABの中点をMとするとき、２線分MC、MDのなす角は何度か。












































（答）　辺ＣＤの中点をＮとおく。中線定理を用いて、

　　AB²＋２CD²＝２（AＮ²＋ＣＮ²）＋２（BＮ²＋ＣＮ²）

　　　　　　　　　＝４（ＭＮ²＋ＡＭ²）＋４ＣＮ²

　ここで、AB²＝（２ＡＭ）²＝４ＡＭ²　、CD²＝（２ＣＮ）²＝４ＣＮ²　なので、

　４ＡＭ²＋８ＣＮ²＝４（ＭＮ²＋ＡＭ²）＋４ＣＮ²　より、　ＭＮ²＝ＣＮ²

　△ＭＣＤにおいて、∠ＣＭＤ＝θとおくと、余弦定理より、

　ｃｏｓθ＝（ＭＣ²＋ＭＤ²−CD²）/（２ＭＣ・ＭＤ）

　　　　＝｛２（ＭＮ²＋ＣＮ²）−４ＣＮ²｝/（２ＭＣ・ＭＤ）

　　　　＝２（ＭＮ²−ＣＮ²）/（２ＭＣ・ＭＤ）＝０

　よって、　θ＝９０°　となる。