角の大きさ(24)　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和２年７月１日付け）

　０≦α＜β＜γ＜２πであって、cosα＋cosβ＋cosγ＝0、sinα＋sinβ＋sinγ＝０　で
あるという。

　このとき、β-αとγ-βの値を求めよ。

（出典）　京都大学前期理系（１９７４）



































（答）　素朴に解いてみました。

　cos²γ＋sin²γ＝（cosα+cosβ）²＋（sinα+sinβ）²＝２＋２ｃｏｓ（β-α）＝１

　より、　ｃｏｓ（β-α）＝−１/２　なので、　β-α＝２π/３、４π/３

　cos²α＋sin²α＝（cosβ+cosγ）²＋（sinβ+sinγ）²＝２＋２ｃｏｓ（γ-β）＝１

　より、　ｃｏｓ（γ-β）＝−１/２　なので、　γ-β＝２π/３、４π/３

０≦α＜β＜γ＜２πなので、β-α＝２π/３、γ-β＝２π/３　しか該当しない。　　（終）


　ＧＡＩさんからのコメントです。（令和２年７月１日付け）

　複素平面上で原点を中心とする単位円周上に、３点A、B、Cがあり、そこの複素数をそれ

ぞれ　z1=cosα+i*sinα　、z2=cosβ+i*sinβ　、z3=cosγ+i*sinγ　とする。

　条件より、　(z1+z2+z3)/3=0　から、３点A、B、Cの三角形ABCの重心は常に原点にあり、

△ABCは正三角形の形状をなす。

　0≦α＜β＜γ＜2πから、0≦α<2*π/3 のとき、

　　β=α + 2*π/3　、γ=α + 4*π/3

　よって、　β-α=γ-β=2*π/3　　（終）