角の大きさ(21)
当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
(令和2年4月12日付け)
0<α<π/2、0<β<π/2 で、cosα=a/98、cosβ=71/98 のなす角 α+β が 2π/3
である。整数aを答えよ。
(答) a=23
実際に、題意より、 sinα=√(9604−a2)/98、sinβ=39√3/98 なので、
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
=71a/9604−39√3√(9604−a2)/9604=−1/2
71a+4802=39√3√(9604−a2)
両辺を平方して、 5041a2+681884a+23059204=43823052−4563a2 となるので、
9604a2+681884a−20763848=0 すなわち、 a2+71a−2162=0
よって、 a={−71±√13689}/2={−71±117}/2=23、−94
a>0 なので、 a=23
(コメント) 煩雑な計算でしたが、ちゃんと整数値が求まり驚きました。どんなからくりになっ
ているのだろう?