△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢを２：１に内分する点をＤ、辺ＢＣを３：１に内分する点をＥとする。
線分ＡＥとＣＤの交点をＦとすると、ＡＦ＝６で、また、ＡＣ＝９である。
∠ＣＡＦ＝１６°のとき、∠ＤＡＦ＝θは何度になるか。
（灘中学校（２００５年） 改題）
上図のままだけでは、解決の糸口は全く見えないが、巧妙に補助線を引くことにより鮮や
かに解かれる。難しいが、とても味のある問題だと思う。
（答） ＡＥの延長上にＡＣ＝ＡＧとなる点Ｇをとり、線分ＡＧと平行に点Ｄより直線を引き、ＢＧ、
ＢＣとの交点をそれぞれＨ、Ｉ とおく。
ＦＧ＝３なので、ＡＤ：ＤＢ＝ＡＦ：ＦＧ＝２：１ より、ＤＣ‖ＢＧ
また、ＤＨ‖ＦＧ より、四角形ＤＨＧＦは平行四辺形となる。
ここで、△ＢＨＩ と△ＣＦＥにおいて、ＢＩ＝ＣＥ、∠ＨＢＩ＝∠ＦＣＥ、∠ＢＩＨ＝∠ＣＥＦ なので、
△ＢＨＩ ≡△ＣＦＥ となり、 ＢＨ＝ＣＦ
したがって、四角形ＢＧＣＤは平行四辺形となり、 ＡＢ‖ＣＧ
よって、 １６°＋２θ＝１８０°より、 θ＝８２° （終）
カルピスさんからのコメントです。（令和元年６月２０日付け）
角度が「１６度」しか与えられていない状態で、小学生が解けるということは、おそらく
（１） ∠Ａが９０度で、９０−１６＝７４度
または、
（２） １６度を頂点とする二等辺三角形が出来て、底角が８２度
の、どちらかだなと容易に想像できる。
∠Ａに用紙の角を当てると、用紙の角より大きいから、直角ではない。だから、答えは
８２度と予想できる。
答えだけ書いても点数もらえるかな？
（コメント） カルピスさんのお察しの通り、（２）を意識しての作問でした。最後の詰めは、２等
辺三角形の底辺と辺ABが平行になるように、辺の長さや分点の比を与えること。
これは結構苦労しました！
DD++さんからのコメントです。（令和元年６月２０日付け）
メネラウスの定理より、CF：FD＝1：2 というのを使ってよければ、CG：GA＝1：2 となる内
分点Gを取ることで、FG//AB かつ AF=AG となるので、あとは容易ですね。
＃灘中の問題ってどこまで使っていいんだろうなあ。
（コメント） なるほど！CF：FD＝1：2 、CG：GA＝1：2 となる内分点Gを取って、２等辺三角形
を作った方が手っ取り早いですね。
愛犬ケンさんからのコメントです。（令和元年６月２１日付け）
EAに平行な線分CGをとる。GはBAの延長線との交点とする。△ABE∽△GBC である。
また、△ADF∽△GDC で、相似比は、2：3 より、CG＝9
△CAGは、頂角 C＝16°の二等辺三角形なので、 θ＝８２°
＃小学生はこう解くでしょう。
ＰＢさんからのコメントです。（令和元年６月２１日付け）
メネラウスの定理を用いなくても、この問題では、ABとBEの三等分点を順次結ぶことに
よって、CF：FD＝1：2 が出せます。
とはいっても、メネラウス→高校 三角形の相似→中学 の範囲 ということで．．．。
灘中の問題は小学生の解く問題ですよね。
らすかるさんからのコメントです。（令和元年６月２１日付け）
いろいろな解答が出ているようなので私も参加します。きっとこのように解く人もいるでしょう。
Dを通り、AEと平行な直線とBCの交点をGとすると、BG：GE：EC=1：2：1 となるので、
AE=3DG=9FE から、 AE=(9/8)AF=27/4
（使って良ければメネラウスの定理からAF/FE=(AD/DB)(BC/CE)=8としてもよい）
Eを通り、ABと平行な直線とACの交点をHとすると、 AH=(3/4)AC=27/4
よって、AE=AH なので、θ=∠AEH=(180°-16°)/2=82°
（コメント） 辺AC上に、AB//HE なる点Ｈをとると、△ＡＥＨが２等辺三角形になるという視座
は新発見です！らすかるさんに感謝します。