四角形ＡＢＣＤの内部に点Ｐがあり、
∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝∠ＰＣＢ＝２０°、∠ＤＡＰ＝∠ＤＰＡ＝７０°、∠ＢＰＣ＝１３０°
を満たすとき、∠ＤＣＰの大きさを求めよ。
（参考：筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編 「Ｃａｆｅ Ｂｏｌｌｗｅｃｋ Ｎｏ．Ⅶ」）
（答） ∠ＤＣＰ＝８０°となる。
上図のように、△ＢＰＣを辺ＢＣに関して対称移動させた△ＢＱＣを辺ＢＣに沿って貼り合わ
せる。
このとき、ＰＱ⊥ＢＣで、△ＣＰＱは底角が７０°の２等辺三角形となる。
よって、 △ＤＡＰ≡△ＣＰＱ より、ＰＣ＝ＰＤ で、△ＰＣＤは２等辺三角形となる。
∠ＡＰＢ＝１４０°なので、∠ＣＰＤ＝２０°
したがって、 θ＝（１８０°－２０°）/２＝８０°
（追記） 平成２６年１月２６日付け
上記の解答で用いられた手法は、受験数学ではお馴染みのものだろう。２０１３年度入試
東京大学前期理系 第４問に次のような問題が出題された。
△ＡＢＣにおいて、∠ＢＡＣ＝９０°、｜ＡＢ｜＝１、｜ＡＣ｜＝
とする。△ＡＢＣの内部の点が、ＰＡ/｜ＰＡ｜＋ＰＢ/｜ＰＢ｜＋ＰＣ/｜ＰＣ｜＝０ を満たすとする。
（１） ∠ＡＰＢ、∠ＡＰＣ を求めよ。
（２） ｜ＰＡ｜、｜ＰＢ｜、｜ＰＣ｜ を求めよ。
（答え） （１） 何れも １２０°（２） ｜ＰＡ｜＝１/
、｜ＰＢ｜＝２/、｜ＰＣ｜＝４/（１）について、ａ＝ＰＡ/｜ＰＡ｜、ｂ＝ＰＢ/｜ＰＢ｜、ｃ＝ＰＣ/｜ＰＣ｜ とおけば、これらは
単位ベクトルとなり、また、条件より、ａ＋ｂ＋ｃ＝０ が成り立つ。これらの条件で、ａ と ｂ、
ａ と ｃ のなす角を求める問題は教科書の例題レベルで、受験生にとっては必ず完答すべき
問題だろう。
（２）について、丁寧に正弦定理、余弦定理、三角関数の相互関係、加法定理を適用すれ
ば解けることは解けるが、それほど容易いとは思われない。これに対し、上記の解答の手
法（合同な図形を線対称移動））を用いれば、それほど仰々しい計算をしなくても容易に解
かれることに気づかされる。ただ、このアイデアを受験場で生みだすのは厳しいかも．．．。
左図において、△ＲＢＥ、△ＣＤＥ、△ＳＤＱが正三
角形になることは明らかだろう。
直ちに、ｚ＋２ｘ＝２ｘ＋２ｙ＝ｙ＋ｚ すなわち、
ｙ＝２ｘ 、 ｚ＝２ｙ＝４ｘ が得られる。
余弦定理から、 ｘ2＋ｙ2＋ｘｙ＝１
ｙ2＋ｚ2＋ｙｚ＝４ 、 ｚ2＋ｘ2＋ｚｘ＝３
なので、ｙ＝２ｘ、ｚ＝４ｘ を代入すれば、答えはすぐ
求められる。
（コメント） 正三角形を用いる方法以外に、△ＡＢＰ∽△ＢＣＰを用いてもよい。上図より、
相似比が １：２ なので、ｙ＝２ｘ、ｚ＝２ｙ＝４ｘ は直ちに得られる。こちらの方が
より簡明かもしれない。