次の△ＡＢＣにおいて、点Ｍは辺ＢＣの中点で、∠ＢＡＭ＝３０°、∠Ｂ＝１５°とする。
このとき、∠Ｃは何度だろうか？
（答） ３０度
次のような鮮やかな補助線の存在に驚かされる。
ＡＭ＝ＤＭとなる点Ｄを直線ＡＭ上にとり平行四辺形ＡＢＤＣを作る。点Ｄより辺ＡＢに垂線
ＤＨを引く。∠ＡＤＨ＝６０°と ＤＭ＝ＤＨ から△ＤＭＨは正三角形となる。
よって、ＭＡ＝ＭＨから∠ＭＨＡ＝３０°で、∠ＨＭＢ＝１５°となる。
すなわち、△ＨＢＭは二等辺三角形で、ＢＨ＝ＭＨ となる。
よって、△ＤＨＢにおいて、∠ＤＨＢ＝９０°で、ＨＢ＝ＨＤ から、∠ＨＢＤ＝４５°となる。
このとき、∠ＤＢＣ＝３０°で、平行線における錯角は等しいから、
∠ＢＣＡ＝∠ＤＢＣ＝３０°
となる。
（参考文献：田村三郎 著 数学パズルランド （講談社））
DD++さんからのコメントです。（平成２８年１０月８日付け）
掲載されている補助線も見事ですが、こっちの方が地に足ついた解法かな、と。
点Bから線分AMに下ろした垂線の足をHとする。BH=1とすると、BM=
、BA=２、BC=２なので、２辺の比と間の角相等より、 △BMA∽△BAC。 よって、∠BCA=∠BAM=３０°
（コメント） なるほど！DD++さんの解答の方が自然ですね。感動しました。