第２章　確率分布　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

１．確率分布

　　ｘ₁、ｘ₂、・・・、ｘ_ｎ という値を取り得る変数Ｘが確率変数とは、

　　　Ｘ＝ｘ_ｋ のときの確率 ｐ_ｋ が定まり、かつ、　Σ_ｋ=1〜ｎ ｐ_ｋ＝１　のときを言う。

　このとき、Ｘの確率分布とは、次の表のような ｘ_ｋ と ｐ_ｋ の対応関係を言う。

　　Ｘ＝ｘ_ｋ のときの確率 ｐ_ｋ は、　ｐ_ｋ＝Ｐ（Ｘ＝ｘ_ｋ）　とも書かれる。

　上の表で確率変数Ｘの確率分布が与えられるとき、「確率変数Ｘはこの分布に従う」という。

（問）　白球５個、黒球３個が入っている袋の中から球を１個ずつ元に戻さずに３個取り出す
　　　とき、白球のでる回数をＸとする。確率変数Ｘの確率分布を求めよ。

　確率変数Ｘが上表に示された分布に従うとき、

　Ｅ（Ｘ）＝Σ_ｋ=1〜ｎ ｘ_ｋ・ｐ_ｋ　をＸの期待値（平均値）

　Ｖ（Ｘ）＝Σ_ｋ=1〜ｎ （ｘ_ｋ−ｍ）²・ｐ_ｋ　（ただし、ｍ＝Ｅ（Ｘ））　をＸの分散

と言う。　σ（Ｘ）＝√Ｖ（Ｘ）　をＸの標準偏差という。

　実際に、　ｘ_ｋ が ｆ_ｋ 個（１≦ｋ≦ｎ）あるとき、　Ｎ＝Σ_ｋ=1〜ｎ ｆ_ｋ　とすると、

　　平均値　ｍ＝＝（Σ_ｋ=1〜ｎ ｆ_ｋ・ｘ_ｋ）/Ｎ＝Σ_ｋ=1〜ｎ ｘ_ｋ・（ｆ_ｋ/Ｎ）＝Σ_ｋ=1〜ｎ ｘ_ｋ・ｐ_ｋ

　　分散　σ²＝（Σ_ｋ=1〜ｎ ｆ_ｋ・（ｘ_ｋ−ｍ）²）/Ｎ

　　　＝Σ_ｋ=1〜ｎ （ｘ_ｋ−ｍ）²・（ｆ_ｋ/Ｎ）＝Σ_ｋ=1〜ｎ （ｘ_ｋ−ｍ）²・ｐ_ｋ

（問）　次の分布の期待値、分散、標準偏差を求めよ。

（問）　・・・　期待値という言葉を理解するための良問

　１００本のくじの中に、１等１００円（１本）、２等１０円（９本）の当たりくじがある。このくじを
１本引いたとき、当たる賞金をＸとする。このとき、Ｘの期待値を求めよ。また、このくじを引
くのに、１回２円を払うのは損か得か。

≪重要公式≫　　Ｖ（Ｘ）＝Ｅ（Ｘ²）−Ｅ（Ｘ）²

（問）　上の公式に対して、証明を与えよ。

（問）　次の分布に対して、分散を求めよ。

２．確率変数の変換

　確率変数Ｘに対して、その１次関数 Ｙ＝ａＸ＋ｂ も確率変数となる。次の公式は基本的で
ある。

（１）　Ｅ（ａＸ＋ｂ）＝ａＥ（Ｘ）＋ｂ　　　　（２）　Ｖ（ａＸ＋ｂ）＝ａ²Ｖ（Ｘ）

（問）　上の公式に対して、証明を与えよ。

（問）　確率変数Ｘが次の分布に従うとき、確率変数 Ｙ＝２Ｘ＋３ の平均、分散、標準偏差を
　　　求めよ。

３．確率変数の標準化

　確率変数Ｘの平均 ｍ＝Ｅ（Ｘ）、標準偏差 σ＝σ（Ｘ）　とする。このとき、確率変数

　Ｙ＝（Ｘ−ｍ）/σ　は、　Ｅ（Ｙ）＝０　、σ（Ｙ）＝１　という著しい特徴を持つ。

（問）　上記を確認せよ。

　平均 ０、標準偏差 １ の分布を標準的な分布といい、このような変数に、確率変数Ｘを変
換することを、Ｘの標準化という。

（問）　ａ＞０である１次式 Ｙ＝ａＸ＋ｂ によって、期待値０、分散１を持つ確率変数Ｘから、期
　　待値５、分散１００の確率変数を作りたい。定数ａ、ｂの値を求めよ。

４．期待値の加法定理・乗法定理

　（期待値の加法定理）　　Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｅ（Ｘ）＋Ｅ（Ｙ）

　簡単のため、次の場合について確認してみよう。

　このとき、　Ｅ（Ｘ）＝　　　　、Ｅ（Ｙ）＝　　　　、Ｅ（Ｘ＋Ｙ）＝

　確率変数ＸとＹが互いに独立とは、Ｘのとる任意の値 ａ とＹのとる任意の値 ｂ について

　Ｐ（Ｘ＝ａ ，Ｙ＝ｂ）＝Ｐ（Ｘ＝ａ）Ｐ（Ｙ＝ｂ）

が成り立つときを言う。

（問）　上記の確率分布ＸとＹは独立と言えるか？

　（期待値の乗法定理）　　Ｅ（ＸＹ）＝Ｅ（Ｘ）Ｅ（Ｙ）　　ただし、ＸとＹは互いに独立

　このとき、　Ｅ（Ｘ）＝　　　　、Ｅ（Ｙ）＝　　　　、Ｅ（ＸＹ）＝

　以上の公式を用いて、次の定理を得る。（ａ、ｂ は定数）

（１）　Ｅ（ａＸ＋ｂＹ）＝ａＥ（Ｘ）＋ｂＥ（Ｙ）

（２）　Ｖ（Ｘ）＝Ｅ（（Ｘ−ｍ）²）＝Ｅ（Ｘ²）−Ｅ（Ｘ）²　　ただし、ｍ＝Ｅ（Ｘ）

（３）　ＸとＹが互いに独立のとき、　Ｖ（Ｘ＋Ｙ）＝Ｖ（Ｘ）＋Ｖ（Ｙ）

（４）　ＸとＹが互いに独立のとき、　Ｖ（ａＸ＋ｂＹ）＝ａ²Ｖ（Ｘ）＋ｂ²Ｖ（Ｙ）


（追記）　令和７年４月２１日付け

　次の東北大学　前期理系（１９９２）の問題は、確率分布の基本問題である。

問題　　数直線上の点Qが最初に原点にあるとする。サイコロを２回投げ、点Qの位置を数直
　　線上を正の向きに第１投の目の数だけ進め、負の向きに第２投の目の数だけ進める試行
　　を考える。このときの点Qの位置を確率変数Xとする。

（１）　Xの確率分布を求めよ。
（２）　Xの期待値E(X)と分散V(X)を求めよ。
（３）　上の試行を６回繰り返すとき、点Qが29にある確率、および、28にある確率をそれぞれ
　　求めよ。

（解）（１）　Ｘの取り得る値は、−５から５までの整数値。起こり得る場合を表にまとめると、

上表より、Xの確率分布は、

となる。

（２）　（１）より、

E(X)＝（−５）・(1/36)＋（−４）・(1/18)＋（−３）・(1/12)＋（−２）・(1/9)＋（−１）・(5/36)
　　＋０・(1/6)＋１・(5/36)＋２・(1/9)＋３・(1/12)＋４・(1/18)＋５・(1/36)
　＝０

E(X²)＝２５・(1/36)＋１６・(1/18)＋９・(1/12)＋４・(1/9)＋１・(5/36)＋０・(1/6)＋１・(5/36)
　　　＋４・(1/9)＋９・(1/12)＋１６・(1/18)＋２５・(1/36)
　＝２５・(1/18)＋１６・(1/9)＋９・(1/6)＋４・(2/9)＋１・(5/18)
　＝３５/６

なので、　V(X)＝E(X²)−E(X)²＝３５/６

（３）　上の試行を６回繰り返すとき、点Qが29にあるのは、各試行でＸの値が

　（４，５，５，５，５，５）、（５，４，５，５，５，５）、・・・、（５，５，５，５，５，４）

の場合だから、求める確率は、　６・（1/36）⁵・（1/18）＝（1/36）⁵・（1/3）

　上の試行を６回繰り返すとき、点Qが28にあるのは、各試行でＸの値が

　（３，５，５，５，５，５）、（５，３，５，５，５，５）、・・・、（５，５，５，５，５，３）

　または、

　（４，４，５，５，５，５）、（４，５，４，５，５，５）、・・・、（５，５，５，５，４，４）

の場合だから、求める確率は、

　６・（1/36）⁵・（1/12）＋₆Ｃ₂（1/36）⁴・（1/18）²

＝（1/36）⁵・（1/2）＋（1/36）⁵・（5/3）＝（1/36）⁵・（13/6）　　（終）



　　以下、工事中！