第2章 確率分布 
1.確率分布
x1、x2、・・・、xn という値を取り得る変数Xが確率変数とは、
X=xk のときの確率 pk が定まり、かつ、 Σk=1〜n pk=1 のときを言う。
このとき、Xの確率分布とは、次の表のような xk と pk の対応関係を言う。
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X |
x1 x2 ・・・ xn |
計 |
P |
p1 p2 ・・・ pn |
1 |
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X=xk のときの確率 pk は、 pk=P(X=xk) とも書かれる。
上の表で確率変数Xの確率分布が与えられるとき、「確率変数Xはこの分布に従う」という。
(問) 白球5個、黒球3個が入っている袋の中から球を1個ずつ元に戻さずに3個取り出す
とき、白球のでる回数をXとする。確率変数Xの確率分布を求めよ。
確率変数Xが上表に示された分布に従うとき、
E(X)=Σk=1〜n xk・pk をXの期待値(平均値)
V(X)=Σk=1〜n (xk−m)2・pk (ただし、m=E(X)) をXの分散
と言う。 σ(X)=√V(X) をXの標準偏差という。
実際に、 xk が fk 個(1≦k≦n)あるとき、 N=Σk=1〜n fk とすると、
平均値 m=
=(Σk=1〜n fk・xk)/N=Σk=1〜n xk・(fk/N)=Σk=1〜n xk・pk
分散 σ2=(Σk=1〜n fk・(xk−m)2)/N
=Σk=1〜n (xk−m)2・(fk/N)=Σk=1〜n (xk−m)2・pk
(問) 次の分布の期待値、分散、標準偏差を求めよ。
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(1) さいころを1回ふる |
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(2) |
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X |
1 2 3 4 5 6 |
計 |
P |
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 |
1 |
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Y |
1 2 3 |
計 |
P |
3/10 6/10 1/10 |
1 |
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(問) ・・・ 期待値という言葉を理解するための良問
100本のくじの中に、1等100円(1本)、2等10円(9本)の当たりくじがある。このくじを
1本引いたとき、当たる賞金をXとする。このとき、Xの期待値を求めよ。また、このくじを引
くのに、1回2円を払うのは損か得か。
≪重要公式≫ V(X)=E(X2)−E(X)2
(問) 上の公式に対して、証明を与えよ。
(問) 次の分布に対して、分散を求めよ。
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Y |
1 2 3 |
計 |
P |
3/10 6/10 1/10 |
1 |
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2.確率変数の変換
確率変数Xに対して、その1次関数 Y=aX+b も確率変数となる。次の公式は基本的で
ある。
(1) E(aX+b)=aE(X)+b (2) V(aX+b)=a2V(X)
(問) 上の公式に対して、証明を与えよ。
(問) 確率変数Xが次の分布に従うとき、確率変数 Y=2X+3 の平均、分散、標準偏差を
求めよ。
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X |
0 1 2 |
計 |
P |
1/4 1/2 1/4 |
1 |
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3.確率変数の標準化
確率変数Xの平均 m=E(X)、標準偏差 σ=σ(X) とする。このとき、確率変数
Y=(X−m)/σ は、 E(Y)=0 、σ(Y)=1 という著しい特徴を持つ。
(問) 上記を確認せよ。
平均 0、標準偏差 1 の分布を標準的な分布といい、このような変数に、確率変数Xを変
換することを、Xの標準化という。
(問) a>0である1次式 Y=aX+b によって、期待値0、分散1を持つ確率変数Xから、期
待値5、分散100の確率変数を作りたい。定数a、bの値を求めよ。
4.期待値の加法定理・乗法定理
(期待値の加法定理) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
簡単のため、次の場合について確認してみよう。
X\Y |
1 2 |
px |
0
1 |
1/3 1/6
1/6 1/3 |
1/2
1/2 |
py |
1/2 1/2 |
1 |
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左の分布表から、X+Yの確率分布を作ると
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このとき、 E(X)= 、E(Y)= 、E(X+Y)=
確率変数XとYが互いに独立とは、Xのとる任意の値 a とYのとる任意の値 b について
P(X=a ,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)
が成り立つときを言う。
(問) 上記の確率分布XとYは独立と言えるか?
(期待値の乗法定理) E(XY)=E(X)E(Y) ただし、XとYは互いに独立
X\Y |
1 2 |
px |
0
1 |
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a
b |
py |
c d |
1 |
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左の分布表から、X+Yの確率分布を作ると
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このとき、 E(X)= 、E(Y)= 、E(XY)=
以上の公式を用いて、次の定理を得る。(a、b は定数)
(1) E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
(2) V(X)=E((X−m)2)=E(X2)−E(X)2 ただし、m=E(X)
(3) XとYが互いに独立のとき、 V(X+Y)=V(X)+V(Y)
(4) XとYが互いに独立のとき、 V(aX+bY)=a2V(X)+b2V(Y)