多項式の問題をまとめる適切なフォルダがなかったので、このページを起こすことにした。
次の東北大学 後期理系（２００９）の問題は雲を掴むような問題で、題意の把握と解答の
進め方に苦慮した。
問題 ａ、ｂ、ｃ、ｄをａ＜ｂ、ｃ＜ｄ、ｂ≠ｃ、ａ≠ｄを満たす実数、Ｐ（ｘ）をｘについての３次式と
する。Ｐ（ｘ）を（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）で割った余りとＰ（ｘ）を（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）で割った余りは一致す
るものとする。その余りをＲ（ｘ）とするとき、以下の問いに答えよ。
（１） Ｑ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）−Ｒ（ｘ）とおく と、Ｑ（ｘ）は、Ｑ（ａ）＝Ｑ（ｂ）＝Ｑ（ｃ）＝Ｑ（ｄ）＝０を満たす
３次式であることを示せ。
（２） ａ、ｂ、ｃ、ｄのうち少なくとも２つは等しいことを示し、それを用いて、ａ＝ｃ または ｂ＝ｄ
が成り立つことを示せ。
（３） ３次式
Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）（ｘ−ｃ）＋（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）（ｘ−ｄ）＋（ｘ−ａ）（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）＋（ｘ−ｂ）（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）
が条件を満たすとき、ｂ−ａ＝ｄ−ｃであることを示し、ａ＝ｃ、ｂ＝ｄ となることを示せ。
（解）（１） 題意より、Ｒ（ｘ）を高々１次式として、
Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）Ｐ’（ｘ）＋Ｒ（ｘ） 、Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）Ｐ”（ｘ）＋Ｒ（ｘ）
（Ｐ’（ｘ）、Ｐ”（ｘ）は１次式）
とおける。このとき、Ｑ（ｘ）＝Ｐ（ｘ）−Ｒ（ｘ）は、３次式で、
Ｑ（ｘ）＝（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）Ｐ’（ｘ）＝（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）Ｐ”（ｘ）
から、 Ｑ（ａ）＝Ｑ（ｂ）＝ Ｑ（ｃ）＝Ｑ（ｄ）＝０ が成り立つ。
（２） Ｑ（ｘ）が、３次式で、Ｑ（ａ）＝Ｑ（ｂ）＝ Ｑ（ｃ）＝Ｑ（ｄ）＝０ より、ａ、ｂ、ｃ、ｄのうち少なく
とも２つは等しい。このとき、ａ＜ｂ、ｃ＜ｄ、ｂ≠ｃ、ａ≠ｄから、
ａ＝ｃ、ｂ＝ｄ となる。
（３） Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）Ｐ’（ｘ）＋Ａｘ＋Ｂ、Ｐ（ｘ）＝（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）Ｐ”（ｘ）＋Ｃｘ＋Ｄ とおくと、
ａＡ＋Ｂ＝（ａ−ｂ）（ａ−ｃ）（ａ−ｄ） 、ｂＡ＋Ｂ＝（ｂ−ａ）（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）
ｃＣ＋Ｄ＝（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）（ｃ−ｄ） 、ｄＣ＋Ｄ＝（ｄ−ａ）（ｄ−ｂ）（ｄ−ｃ）
これを解いて、
Ａ＝（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）＋（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）、Ｂ＝−ａ（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）−ｂ（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）
Ｃ＝（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）＋（ｄ−ａ）（ｄ−ｂ）、Ｄ＝−ｃ（ｄ−ａ）（ｄ−ｂ）−ｄ（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）
よって、Ｐ（ｘ）を（ｘ−ａ）（ｘ−ｂ）で割った余りは、
（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）（ｘ−ａ）＋（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）（ｘ−ｂ）
Ｐ（ｘ）を（ｘ−ｃ）（ｘ−ｄ）で割った余りは、
（ｄ−ａ）（ｄ−ｂ）（ｘ−ｃ）＋（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）（ｘ−ｄ）
題意より、これらは等しいので、ｘの係数を比較して、
（ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ）＋（ａ−ｃ）（ａ−ｄ）＝（ｄ−ａ）（ｄ−ｂ）＋（ｃ−ａ）（ｃ−ｂ）
すなわち、 （ｂ−ｃ）（ｂ−ｄ＋ｃ−ａ）＝（ｄ−ａ）（ｄ−ｂ＋ａ−ｃ） より、
（ｂ−ｄ＋ｃ−ａ）（ｂ−ｃ＋ｄ−ａ）＝０
ここで、 ｂ−ｃ＋ｄ−ａ＝ｂ−ａ＋ｄ−ｃ＞０ なので、 ｂ−ｄ＋ｃ−ａ＝０ より、 ｂ−ａ＝ｄ−ｃ
すなわち、 ｂ−ｄ＝ａ−ｃ となる。（２）より、 ａ＝ｃ または ｂ＝ｄ なので、何れにしても、
ａ＝ｃ、ｂ＝ｄ となる。 （終）
（コメント） ハードな計算でした！
以下、工事中！