m=binomial(ni,i)+binomial(ni-1,i-1)+･･･+binomial(nj,j) （ただし ni>ni-1>･･･>nj≧j≧1）
となる表現は可能らしくある。反例があれば示してほしい。
（実験）
1C1 =1 | 7C3+6C2+1C1= 51 | 9C3+6C2+2C1= 101
2C2+1C1 =2 | 7C3+6C2+2C1= 52 | 9C3+6C2+3C1= 102
3C3+2C2+1C1=3 | 7C3+6C2+3C1= 53 | 9C3+6C2+4C1= 103
3C2+1C1 =4 | 7C3+6C2+4C1= 54 | 9C3+6C2+5C1= 104
3C2+2C1 =5 | 7C3+6C2+5C1= 55 | 9C3+7C2 = 105
4C3+2C2+1C1=6 | 8C3+1C2 = 56 | 9C3+7C2+1C1= 106
4C2+1C1 =7 | 8C3+2C2 = 57 | 9C3+7C2+2C1= 107
4C2+2C1 =8 | 8C3+2C2+1C1= 58 | 9C3+7C2+3C1= 108
4C2+3C1 =9 | 8C3+3C2 = 59 | 9C3+7C2+4C1= 109
5C2 =10 | 8C3+3C2+1C1= 60 | 9C3+7C2+5C1= 110
5C2+1C1 =11 | 8C3+3C2+2C1= 61 | 9C3+7C2+6C1= 111
5C2+2C1 =12 | 8C3+4C2 = 62 | 9C3+8C2 = 112
5C2+3C1 =13 | 8C3+4C2+1C1= 63 | 9C3+8C2+1C1= 113
5C2+4C1 =14 | 8C3+4C2+2C1= 64 | 9C3+8C2+2C1= 114
5C3+3C2+2C1=15 | 8C3+4C2+3C1= 65 | 9C3+8C2+3C1= 115
6C2+1C1 =16 | 8C3+5C2 = 66 | 9C3+8C2+4C1= 116
6C2+2C1 =17 | 8C3+5C2+1C1= 67 | 9C3+8C2+5C1= 117
6C2+3C1 =18 | 8C3+5C2+2C1= 68 | 9C3+8C2+6C1= 118
6C2+4C1 =19 | 8C3+5C2+3C1= 69 | 9C3+8C2+7C1= 119
6C2+5C1 =20 | 8C3+5C2+4C1= 70 | 10C3+1C2= 120
6C3+2C2 =21 | 8C3+6C2 = 71 | 10C3+2C2= 121
7C2+1C1 =22 | 8C3+6C2+1C1= 72 | 10C3+2C2+1C1= 122
7C2+2C1 =23 | 8C3+6C2+2C1= 73 | 10C3+3C2= 123
7C2+3C1 =24 | 8C3+6C2+3C1= 74 | 10C3+3C2+1C1= 124
7C2+4C1 =25 | 8C3+6C2+4C1= 75 | 10C3+3C2+2C1= 125
7C2+5C1 =26 | 8C3+6C2+5C1= 76 | 10C3+4C2= 126
7C2+6C1 =27 | 8C3+7C2 = 77 | 10C3+4C2+1C1= 127
6C3+4C2+2C1=28 | 8C3+7C2+1C1= 78 | 10C3+4C2+2C1= 128
6C3+4C2+3C1=29 | 8C3+7C2+2C1= 79 | 10C3+4C2+3C1= 129
8C2+2C1 =30 | 8C3+7C2+3C1= 80 | 10C3+5C2= 130
8C2+3C1 =31 | 8C3+7C2+4C1= 81 | 10C3+5C2+1C1= 131
8C2+4C1 =32 | 8C3+7C2+5C1= 82 | 10C3+5C2+2C1= 132
8C2+5C1 =33 | 8C3+7C2+6C1= 83 | 10C3+5C2+3C1= 133
8C2+6C1 =34 | 9C3+1C2 = 84 | 10C3+5C2+4C1= 134
8C2+7C1 =35 | 9C3+2C2 = 85 | 10C3+6C2= 135
7C3+2C2 =36 | 9C3+2C2+1C1= 86 | 10C3+6C2+1C1= 136
9C2+1C1 =37 | 9C3+3C2 = 87 | 10C3+6C2+2C1= 137
9C2+2C1 =38 | 9C3+3C2+1C1= 88 | 10C3+6C2+3C1= 138
9C2+3C1 =39 | 9C3+3C2+2C1= 89 | 10C3+6C2+4C1= 139
9C2+4C1 =40 | 9C3+4C2 = 90 | 10C3+6C2+5C1= 140
9C2+5C1 =41 | 9C3+4C2+1C1= 91 | 10C3+7C2= 142
9C2+7C1 =43 | 9C3+4C2+3C1= 93 | 10C3+7C2+2C1= 143
9C2+8C1 =44 | 9C3+5C2 = 94 | 10C3+7C2+3C1= 144
7C3+5C2 =45 | 9C3+5C2+1C1= 95 | 10C3+7C2+4C1= 145
10C2+1C1=46 | 9C3+5C2+2C1= 96 | 10C3+7C2+5C1= 146
10C2+2C1=47 | 9C3+5C2+3C1= 97 | 10C3+7C2+6C1= 147
10C2+3C1=48 | 9C3+5C2+4C1= 98 | 10C3+8C2= 148
10C2+4C1=49 | 9C3+6C2 = 99 | 10C3+8C2+1C1= 149
10C2+5C1=50 | 9C3+6C2+1C1= 100 | 10C3+8C2+2C1= 150
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年４月２６日付け）
n=nC1 なので自明では？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年４月２６日付け）
10 の構成方法がまずかった。 → 5C4+4C3+2C2=10
1以外のすべての自然数は２つ以上の和で構成できるか？
に変更して下さい。
DD++さんからのコメントです。（平成３０年４月２６日付け）
n = nCn + n-1Cn-1 + …… + 2C2 + 1C1
でやっぱり自明なのでは。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年４月２６日付け）
そうか！ならば、
10=10C1
=5C2
=5C3
=5C4+4C3+2C2
=6C5+4C4+3C3+2C2+1C1
=7C6+5C5+4C4+3C3
=8C7+6C6+5C5
=9C8+7C7
=10C9
=10C10+9C9+8C8+7C7+6C6+5C5+4C4+3C3+2C2+1C1
=11C11+10C10+･･･+2C2
=12C12+11C11+･･･+3C3
････････
の様に、一般に任意の自然数 m に対して、勝手な自然数 i を用いて
m=binomial(ni,i)+binomial(ni-1,i-1)+･･･+binomial(nj,j) （ただし ni>ni-1>･･･>nj≧j≧1）
と一意に構成可能ということは出来るのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年４月２６日付け）
一意に構成されますね。
i=1のときmC1=m
i=2のとき
2C2=1,2C2+1C1=2
3C2=3,3C2+1C1=4,3C2+2C1=5
4C2=6,4C2+1C1=7,4C2+2C1=8,4C2+3C1=9
5C2=10,5C2+1C1=11,5C2+2C1=12,5C2+3C1=13,5C2+4C1=14
6C2=15,6C2+1C1=16,6C2+2C1=17,6C2+3C1=18,6C2+4C1=19,6C2+5C1=20
・・・
i=3のとき
3C3=1,3C3+(i=2の1行目)=2〜3
4C3=4,4C3+(i=2の1〜2行目)=5〜9
5C3=10,5C3+(i=2の1〜3行目)=11〜19
6C3=20,6C3+(i=2の1〜4行目)=21〜34
・・・
i=4のとき
4C4=1,4C4+(i=3の1行目)=2〜4
5C4=5,5C4+(i=3の1〜2行目)=6〜14
6C4=15,6C4+(i=3の1〜3行目)=16〜34
7C4=35,7C4+(i=3の1〜4行目)=36〜69
・・・
一般に
i=2のとき
(n+1)C2-nC2=nC1なので
nC2,nC2+1C1,nC2+2C1,nC2+3C1,…,nC2+(n-1)C1で
nC2〜(n+1)C2-1までを表せて、全自然数が一意に構成される。
i=3のとき
(n+1)C3-nC3=nC2なので
nC3とnC3+(i=2のnC2未満を表す式)で
nC3〜(n+1)C3-1までを表せて、全自然数が一意に構成される。
i=4のとき
(n+1)C4-nC4=nC3なので
nC4とnC4+(i=3のnC3未満を表す式)で
nC4〜(n+1)C4-1までを表せて、全自然数が一意に構成される。
・・・
i=kのとき
(n+1)Ck-nCk=nC(k-1)なので
nCkとnCk+(i=k-1のnC(k-1)未満を表す式)で
nCk〜(n+1)Ck-1までを表せて、全自然数が一意に構成される。
DD++さんからのコメントです。（平成３０年４月２７日付け）
らすかるさんとは別の考え方を．．．。例として i=4 の場合を考えます。
0以上の整数のうち i=4 個を重複なく選んだ組を作り、以下のように組同士の大小関係を
定めます。
・各組の4数のうち最も大きいもの同士を比べ、それが大きい方が組としても大きい
・最も大きいものが同じ数である場合は、2番目に大きい数同士を比べ、それが大きい方が
組としても大きい
・大きい方から2つがどちらも同じ数である場合は、3番目に大きい数同士を比べ、それが大
きい方が組としても大きい
・大きい方から3つがどれも同じ数である場合は、4番目に大きい数同士を比べ、それが大き
い方が組としても大きい
そして、この大小関係に従って、全ての組を小さい順に並べます。ただし、最初を1番目で
はなく0番目として数えることにします。また、4つの数は大きい方から並べて書くことにします。
[3,2,1,0] <- 0番目
[4,2,1,0] <- 1番目
[4,3,1,0] <- 2番目
[4,3,2,0] <- 3番目
[4,3,2,1] <- 4番目
[5,2,1,0] <- 5番目
[5,3,1,0] <- 6番目
[5,3,2,0] <- 7番目
[5,3,2,1] <- 8番目
[5,4,1,0] <- 9番目
[5,4,2,0] <- 10番目
[5,4,2,1] <- 11番目
[5,4,3,0] <- 12番目
[5,4,3,1] <- 13番目
[5,4,3,2] <- 14番目
[6,2,1,0] <- 15番目
[6,3,1,0] <- 16番目
以下略。
このとき、[5,4,3,1] は 13 番目ですが、5C4 + 4C3 + 3C2 + 1C1 = 13 です。同様に、[6,3,1,0]
は 16 番目ですが、6C4 + 3C3 + 1C2 + 0C1 = 16 です。1C2 = 0C1 = 0 を省略すれば、
6C4 + 3C3 = 16 です。
なぜこうなるかといえば、[5,4,3,1] より前に、
[5未満,X,X,X] が 5C4 個
[5,4未満,X,X] が 4C3 個
[5,4,3未満,X] が 3C2 個
[5,4,3,1未満] が 1C1 個
と、合計 13 個あるから。もちろん同様のことが1行目を除く任意の行について成り立つこと
は明らかです。（1行目も成り立っていると言えなくもないですが）
これにより、i=4 の場合に指定の形式が全ての自然数を1回ずつ生み出す、すなわち全て
の自然数が指定の形式に一意に表されることが示されます。
i が他の自然数でも、同様の議論で示されます。
