x5+2x4+3x3+4x2+5x+6=(x-2)5+a(x-2)4+b(x-2)3+c(x-2)2+d(x-2)+e のとき、a、b、c、d、e は？
に対し、係数比較法や数値代入法、または、s=x-2 として、
(s+2)5+2(s+2)4+3(s+2)3+4(s+2)2+5(s+2)+6
の展開式を計算するなどの解法を目にする。何れもややめんどくさい計算になるが、次のパ
スカルの三角形風に計算をすることで、容易く結論を得られる。
三角形形成では、次のルールで進める。
a b
c(=2a+b)
実例（右端にxの多項式の係数を用いる。）
1
1 2
1 4 3
1 6 11 4
1 8 23 26 5
1 10 39 72 57 6
1 12 59 150 201 120
これより、
x5+2x4+3x3+4x2+5x+6=(x-2)5+12(x-2)4+59(x-2)3+150(x-2)2+201(x-2)+120
逆に、
(x-3)5+2(x-3)4+3(x-3)3+4(x-3)2+5(x-3)+6=x5+Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E を満たすA、B、C、
D、E は？
に対しては、
a b
c(=b-3a)
での規則で
１
1 2
1 -1 3
1 -4 6 4
1 -7 18 -14 5
1 -10 39 -68 47 6
1 -13 69 -185 251 -135
から、
(x-3)5+2(x-3)4+3(x-3)3+4(x-3)2+5(x-3)+6=x5-13x4+69x3-185x2+251x-135
が成立する。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年４月２０日付け）
手計算向きではないですが、x5+2x4+3x3+4x2+5x+6 のxに1002を代入すると、
1012059150201120 → 下から3桁ずつに分けて、 1 012 059 150 201 120
よって、 x5+2x4+3x3+4x2+5x+6=(x-2)5+12(x-2)4+59(x-2)3+150(x-2)2+201(x-2)+120
x5+2x4+3x3+4x2+5x+6 のxに997を代入すると、
987068815250865 → 下から3桁ずつに分けて、 987 068 815 250 865
値が500以上のものを補数と考え、1000引いて負にして上位桁に1を加えれば、
1 -13 69 -185 251 -135
よって、 (x-3)5+2(x-3)4+3(x-3)3+4(x-3)2+5(x-3)+6=x5-13x4+69x3-185x2+251x-135
# 結果の桁数が多くなる場合は、1002を10002や100002などにすれば求まります。
（コメント） なるほど！計算は大変ですが、1002を代入するのは面白いアイデアですね。
DD++さんからのコメントです。（平成３０年４月２０日付け）
左辺を x-2 で割って商と余りを求め、その商を x-2 で割って商と余りを求め、
その商を x-2 で割って商と余りを求め、その商を x-2 で割って商と余りを求め、
その商を x-2 で割って商と余りを求めると、余りとして e から順に得られますね。
組立除法でやれば、計算も手早く終わります。
というか、まあ、GAI さんがやってる方法と本質は同じなんですけれども。
（コメント） 私もこの手の問題に対しては、DD++さんのように組立除法を愛用しています。
