a*b+c=300 ･････（１） 、a+b*c=540 ･････（２）
DD++さんからのコメントです。（平成３０年１月１５日付け）
b-1 が 120 の約数かつ b+1 が 420 の約数となるような b を全部列挙して、それぞれの連
立方程式を全部解けばいいですね。暗算や手計算だと計算量的にお手上げですが。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１月１５日付け）
2式を加減して、 (b+1)(c+a)=840=2^3×3×5×7 、(b-1)(c-a)=240=2^4×3×5
b-1は、1,3,5,15,2,6,10,30,4,12,20,60,8,24,40,120,16,48,80,240 のいずれか
→b+1は3,5,7,4,8,12,6,14,10,42のいずれか(17,18,22,26,32,50,62,82,122,242はNG)
b+1=3のとき、c+a=2^3×5×7,c-a=2^4×3×5から、a=20,c=260
b+1=5のとき、c+a=2^3×3×7,c-a=2^4×5から、a=44,c=124
b+1=7のとき、c+a=2^3×3×5,c-a=2^4×3から、a=36,c=84
b+1=4のとき、c+a=2×3×5×7,c-a=2^3×3×5から、a=45,c=165
b+1=8のとき、c+a=3×5×7,c-a=2^3×5となり、c+aとc-aの符号が異なるので不適
b+1=12のとき、c+a=2×5×7,c-a=2^3×3から、a=23,c=47
b+1=6のとき、c+a=2^2×5×7,c-a=2^2×3×5から、a=40,c=100
b+1=14のとき、c+a=2^2×3×5,c-a=2^2×5から、a=20,c=40
b+1=10のとき、c+a=2^2×3×7,c-a=2×3×5から、a=27,c=57
b+1=42のとき、c+a=2^2×5,c-a=2×3から、a=7,c=13
従って、答えは、
(a,b,c)
=(7,41,13),(20,2,260),(20,13,40),(23,11,47),(27,9,57),(36,6,84),(40,5,100),(44,4,124),(45,3,165)
の9組。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成３０年１月１５日付け）
a*b+c=300、a+b*c=540 を解き、{(60 (-9+5 b))/(-1+b^2),b,(60 (-5+9 b))/(-1+b^2)}から虱
潰しで、
{{20,2,260},{45,3,165},{44,4,124},{40,5,100},{36,6,84},{27,9,57},{23,11,47},{20,13,40},{7,41,13}}
a*b+c=300、a+b*c=540 を解き、
{(60 (-9+5 b))/(-1+b^2),b,(60 (-5+9 b))/(-1+b^2)}= {-(120/(-1+b))+420/(1+b),b,120/(-1+b)+420/(1+b)}
-1+b が 120 の約数{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}
1+b が 420の約数{1,2,3,4,5,6,7,10,12,14,15,20,21,28,30,35,42,60,70,84,105,140,210,420}
から、b が定まり、
{{20,2,260},{45,3,165},{44,4,124},{40,5,100},{36,6,84},{27,9,57},{23,11,47},{20,13,40},{7,41,13}}
