次の約分は、分子、分母の「０」を消し去っただけで、一見すると、間違っているように感
じるかもしれないが、実は正しい計算である。
しかも、驚くべきことに、記数法が何進法でも必ず成立する式と聞くと、驚きを隠せない。
上記の約分が正しいことは、次のようにして分かる。
ｐ進法の数を十進法に換算すれば、 １００００１＝ｐ5＋１
＝(ｐ＋１)(ｐ4−ｐ3＋ｐ2−ｐ＋１)
１０１０１０１０１＝ｐ8＋ｐ6＋ｐ4＋ｐ2＋１
ところで、ｐ8＋ｐ6＋ｐ4＋ｐ2＋１＝(ｐ10−１)/(ｐ2−１)
＝(ｐ5−１)/(ｐ−１)・(ｐ5＋１)/(ｐ＋１)
＝(ｐ4＋ｐ3＋ｐ2＋ｐ＋１)(ｐ4−ｐ3＋ｐ2−ｐ＋１)
したがって、
与式＝(ｐ＋１)/(ｐ4＋ｐ3＋ｐ2＋ｐ＋１)＝１１/１１１１１
が成り立つ。
ｐ進法の数のまま、次のように計算しても、明らかだろう。
１００００１×１１１１１＝１１１１１１１１１１
１０１０１０１０１×１１＝１１１１１１１１１１
より、与式＝１１/１１１１１
このような約分を見ていると、昔一世を風靡した「クシャおじさん」を思い出してしまう。
攻略法さんが、上記分数と同じ性質を持つ分数を見いだされた。
（平成２３年１２月４日付け）
（証明） 1が６個並ぶ数「111111」を用いて、
1001＝111111÷111 、 10101＝111111÷11
なので、 1001/10101=(111111/111)/(111111/11)=11/111 （証終）
（別証） 下記 m=2、n=3 の最小公倍数6より、因数分解を考えてもよい。
1001/10101=(1100-110+11)/(11100-1110+111)
={11・(100-10+1)}/{111・(100-10+1)}
=11/111 （別証終）
1001/10101の数の並びについて、m=2、n=3 として、
分子は、先頭が1で、ｎ-1個の0が並ぶ 10…0 が ｍ-1個、最後に1。即ち、1はｍ個となる。
分母は、ｍ、ｎ を逆にして議論する。即ち、先頭が1で、ｍ-1個の0が並ぶ 10…0 が ｎ-1個、
最後に1。即ち、1はｎ個となる。
ｍ、ｎ が互いに素なら、この約分で既約できる。
冒頭の分数
は、ｍ=2、ｎ=5 の場合である。
ｐ進法で、
ｐ(m-1)n+ … +ｐ2n+ｐn+1 (ｐmn-1)/(ｐn-1) ｐm-1 (ｐ-1)(ｐm-1+ … +ｐ2+ｐ+1)
-------------------- = -------------- = ----- = ----------------------
p(n-1)m+ … +ｐ2m+ｐm+1 (ｐmn-1)/(ｐm-1) ｐn-1 (ｐ-1)(ｐn-1+ … +ｐ2+ｐ+1)
よって、
ｐm-1+ … +ｐ2+ｐ+1 ← 1がｍ個
----------------
ｐn-1+ … +ｐ2+ｐ+1 ← 1がｎ個
最後に、1が並ぶ数が得られる。
（コメント） 面白い分数の数学的構造がはっきりしましたね！攻略法さんに感謝します。
