ました。
A = x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) とおく。x = (5+√17)/2 のとき、A = 2^[カ] である。
（X = x(5-x) とおく、などの誘導は略しました）
最後の枠の用意の仕方が不思議で、印象的です。この大問は累乗数の話など全くしてお
らず、最後の計算も誘導通りにやると、
A = 2*(2+6)*(2+14) = 2*8*16 = 2^8
と、A = [カキク] という枠の方が自然に見えるところに、突然脈絡なく累乗数が登場します。
少し数学的背景を探ってみると、誘導にあえて乗らずに直接代入した式を眺めれば、
A = ((5/2)^2-17/4)*((7/2)^2-17/4)*((9/2)^2-17/4)
となっていて、連続する奇数 5、7、9 がいずれも「2乗して17を引くと2の累乗数になる」という
性質を持っていることを利用して、解が綺麗に累乗数にまとまるようにしているのだとわかり
ます。
ということは、同様に、連続する奇数 13、15、17 がいずれも「2乗して161を引くと2の累乗
数になる」という性質を持つことを利用すると、
A = x(x+1)(x+2)(13-x)(14-x)(15-x) とおく。x = (13+√161)/2 のとき、A = 2^[キク] である。
という類題ができますし、連続する奇数 29、31、33 がいずれも「2乗して833を引くと2の累乗
数になる」という性質を持つことを利用すると、
A = x(x+1)(x+2)(29-x)(30-x)(31-x) とおく。x = (29+7√17)/2 のとき、A = 2^[ケコ] である。
という類題ができます。
一般に、nを3以上の整数として、連続する奇数 2^n-3、2^n-1、2^n+1 がいずれも「2乗して
4^n-6*2^n+1 を引くと2の累乗数になる」という性質を持つので、これを使えば無限に類題が
生成できる……のはいいとして。
さて、この形以外で類題は存在するのでしょうか。つまり、
A = x(x+1)(x+2)("3連続整数"-x)("3連続整数"-x)("3連続整数"-x) とおく。x = "二次の無
理数" のとき、A = "整数"^[ ] である。
という問題は他に作れるのでしょうか？また、次数を上げた
A = x(x+1)(x+2)(x+3)("4連続整数"-x)("4連続整数"-x)("4連続整数"-x)("4連続整数"-x)
とおく。x = "二次の無理数" のとき A = "整数"^[ ] である。
という問題は存在しうるのでしょうか？（私も未解決ですので、答えは知りません）
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１月１６日付け）
A = x(x+1)(x+2)("3連続整数"-x)("3連続整数"-x)("3連続整数"-x) とおく。x = "二次の無
理数" のとき、A = "整数"^[ ] である。
という問題は他に作れるのでしょうか？
x = 2+√2 のとき、x(x+1)(x+2)(4-x)(5-x)(6-x) = 14^2
x = (95+√9017)/2 のとき、x(x+1)(x+2)(95-x)(96-x)(97-x) = 14^4
x = (1369+√1874153)/2 のとき、x(x+1)(x+2)(1369-x)(1370-x)(1371-x) = 14^6
x = (19205+√368832017)/2 のとき、x(x+1)(x+2)(19205-x)(19206-x)(19207-x) = 14^8
一般に、 k = ((2n)^m)/2-3 として、x = {k + √(k^2-8)}/2 のとき、
x(x+1)(x+2)(k-x)(k+1-x)(k+2-x) = (2n)^(2m)
DD++さんからのコメントです。（平成３０年１月１６日付け）
なるほど確かに、合成数なら x(k-x)、(x+1)(k+1-x)、(x+2)(k+2-x) のそれぞれが累乗数に
ならずとも積が累乗数になる場合はありますもんね。
（ところで、kは4以上の任意の自然数で (2k+6)^2 になるのでOKですね）
3つの積それぞれが同じ整数の累乗数になるパターンは他にあるのでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１月１６日付け）
3つの積それぞれが同じ整数の累乗数になるパターンは他にあるのでしょうか？
多分ないと思います。
A = x(x+1)(x+2)(k-x)(k+1-x)(k+2-x) 、k≧1 ならば、x(k-x) が累乗数なので、x(k-x)≧1
よって、 (x+1)(k+1-x)=x(k-x)+(k+1)≧k+2
{(x+2)(k+2-x)}/{(x+1)(k+1-x)}=1+(k+3)/{(x+1)(k+1-x)}≦1+(k+3)/(k+2)=2+1/(k+2)
よって、(x+2)(k+2-x)は(x+1)(k+1-x) の3倍未満なので、同じ整数の累乗数になるならば、
2の累乗しかあり得ず、(x+2)(k+2-x)=2(x+1)(k+1-x)となる。
# 従って、同じ整数の累乗数で4連続はあり得ないですね。-2≦k≦0 は、-x^2が出てきて不
適、k≦-3は上と同じですね。
DD++さんからのコメントです。（平成３０年１月１６日付け）
おお、なるほど。スッキリ解決、ありがとうございます。
