また、相異なる１１以下の素数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c＋d*e と表せる素数を求めよ。
相異なる７以下の正の整数 a、b、c、d、e、f、g を用いて、a*b*c*d＋e*f*g と表せる素数を
すべて求めよ。
また、逆に、１７以下の素数 {2，3，5，7，11，13，17} で、a*b*c*d＋e*f*g と表せる合成数
をすべて求めて下さい。
よおすけさんからのコメントです。（平成３０年１月１１日付け）
相異なる５以下の正の整数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c＋d*e と表せる素数を求めよ。
a、b、c のうち２数が 2、4 のとき、
1×2×4+3×5=23 、3×2×4+1×5=29 、5×2×4+1×3=43
d、e の２数が 2、4 のとき、
1×3×5+2×4=23
よって、23、29、43
相異なる１１以下の素数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c＋d*e と表せる素数を求めよ。
a、b、c のうちいずれか１数が 2 のとき、
2×3×5+7×11=107 、2×5×7+11×3=103 、2×7×11+3×5=169(→不適)
2×11×3+5×7=101
d、e のうちいずれか１数が 2 のとき、
3×5×7+11×2=127 、5×7×11+3×2=391(→不適) 、7×11×3+5×2=241
11×3×5+7×2=179
よって、101、103、107、127、179、241
相異なる７以下の正の整数 a、b、c、d、e、f、g を用いて、a*b*c*d＋e*f*g と表せる素数
をすべて求めよ。
相異なる７以下の正の整数 a、b、c、d、e、f、g ：
a、b、c、d のうち、３数が 2、4、6 のとき、
2×4×6×1+3×5×7=153(→不適) 、2×4×6×3+5×7×1=179
2×4×6×5+7×1×3=261(→不適) 、2×4×6×7+1×3×5=351(→不適)
e、f、g の3数が 2、4、6 のとき、
1×3×5×7+2×4×6=153(→不適)
よって、179
１７以下の素数 {2，3，5，7，11，13，17} で、a*b*c*d＋e*f*g と表せる合成数をすべて求
めて下さい。
a、b、c、d のうち１数が 2 のとき、
2×3×5×7+11×13×17=2641 、2×5×7×11+13×17×3=1433(→素数)
2×7×11×13+17×3×5=2257 、2×11×13×17+3×5×7=4967(→素数)
2×13×17×3+5×7×11=1711 、2×17×3×5+7×11×13=1511(→素数)
e、f、g のうち１数が 2 のとき、
3×5×7×11+13×17×2=1597(→素数) 、5×7×11×13+17×3×2=5107(→素数)
7×11×13×17+3×5×2=17047(→素数) 、11×13×17×3+5×7×2=7363
13×17×3×5+7×11×2=3469(→素数) 、17×3×5×7+11×13×2=2071
よって、1711、2071、2257、2641、7363
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年１月１１日付け）
3×5×7+11×2=127 、5×7×11+3×2=391(→不適) 、7×11×3+5×2=241
11×3×5+7×2=179
よって、101、103、107、127、179、241
よって、1711、2071、2257、2641、7363
については、もう少し構成可能かと・・・。
よおすけさんからのコメントです。（平成３０年１月１１日付け）
a、b、c のうちいずれか１数が 2 のときが抜け落ちていました。
2×5×11+7×3=131 、2×3×7+5×11=97
よって、97、101、103、107、127、131、179、241
１７以下の素数 {2，3，5，7，11，13，17} で、a*b*c*d＋e*f*g と表せる合成数をすべて求
めて下さい。
について、書き直しです。
a、b、c、d のうち１数が 2 のとき、
2×3×5×7+11×13×17=2641 、2×3×5×11+7×13×17=1877
2×3×5×13+7×11×17=1699(→素数) 、2×3×5×17+7×11×13=1511(→素数)
2×3×7×11+5×13×17=1567(→素数) 、2×3×7×13+5×11×17=1481(→素数)
2×3×7×17+5×11×13=1429(→素数) 、2×3×11×13+5×7×17=1453(→素数)
2×3×11×17+5×7×13=1577 、2×3×13×17+5×7×11=1711
2×5×7×11+3×13×17=1433(→素数) 、2×5×7×13+3×11×17=1471(→素数)
2×5×7×17+3×11×13=1619(→素数) 、2×5×11×13+3×7×17=1787(→素数)
2×5×11×17+3×7×13=2143(→素数) 、2×5×13×17+3×7×11=2441(→素数)
2×7×11×13+3×5×17=2257 、2×7×11×17+3×5×13=2813
2×7×13×17+3×5×11=3259(→素数) 、2×11×13×17+3×5×7=4967(→素数)
e、f、g のうち１数が 2 のとき、
7×11×13×17+2×3×5=17047(→素数) 、5×11×13×17+2×3×7=12197(→素数)
5×7×13×17+2×3×11=7801 、5×7×11×17+2×3×13=6623
5×7×11×13+2×3×17=5107(→素数) 、3×11×13×17+2×5×7=7363
3×7×13×17+2×5×11=4751(→素数) 、3×7×11×17+2×5×13=4057(→素数)
3×7×11×13+2×5×17=3173 、3×5×13×17+2×7×11=3469(→素数)
3×5×11×17+2×7×13=2987 、3×5×11×13+2×7×17=2383(→素数)
3×5×7×17+2×11×13=2071 、3×5×7×13+2×11×17=1739
3×5×7×11+2×13×17=1597(→素数)
よって、1577、1711、1739、1877、2071、2257、2641、2813、2987、3173、6623、7363、7801
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３０年１月１２日付け）
1877 は素数ですね。これらの合成数を素因数分解すると面白い。
いろいろ組み合わせて調べていたら、
2*7*11+3*5=13^2 、2*5*13+3*7*11=19^2 、2*7*11*19+3*5*13*17=79^2
になることが興味を引いた。さて、素数１０個 {2,3,5,7,･･･,29} を上手く組み合わせて、
a*b*c*d*e＋f*g*h*i*j
が素数の平方数にできるか？
よおすけさんからのコメントです。（平成３０年１月１２日付け）
43^2＜1877＜44^2 なので、1877を43以下の各素数で割ったところ、割り切れるものは見
つかりませんでした。改めて、17以下の素数 {2,3,5,7,11,13,17} で、a*b*c*d＋e*f*g と表せる
合成数は、
1577、1711、1739、2071、2257、2641、2813、2987、3173、6623、7363、7801
です。
よおすけさんからのコメントです。（平成３０年１月１４日付け）
素数１０個 {2,3,5,7,･･･,29} を上手く組み合わせ、a*b*c*d*e＋f*g*h*i*j が素数の平方数に
できるか？
についても、
2×3×5×7×11=13×17×19×23×29
のように全通り書き上げてもいいのですが、これ以上の計算については、僕はもう体力がも
たないので他の方にプログラムつくってもらって公開した方がいいかと。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１月１５日付け）
素数１０個 {2,3,5,7,･･･,29} を上手く組み合わせ、a*b*c*d*e＋f*g*h*i*j が素数の平方数に
できるか？
a*b*c*d*e と f*g*h*i*j のうち 2 を含む方は、4n+2型となるので、条件を満たすためには
他方は、4n+3型にならなければいけない。
そのためには、4n+3型素数が奇数個である必要がある。
4n+3型素数は、3,7,11,19,23 の5個なので、2を含まない方は、3,7,11,19,23 のうち奇数個を
使用…(2)
a*b*c*d*e と f*g*h*i*j のうち 3 を含む方は、3 の倍数になるので、条件を満たすために
は他方は、3n+1型にならなければいけない。
そのためには、3n+2型素数が偶数個である必要がある。
3n+2型素数は、2,5,11,17,23,29 の6個なので、3を含まない方は、2,5,11,17,23,29 のうち偶
数個を使用、すなわち、3を含まない方は、7,13,19 のうち奇数個を使用…(3)
a*b*c*d*e と f*g*h*i*j のうち 5 を含む方は、5の倍数になるので、条件を満たすために
は他方は、5n±1型にならなければいけない。
そのためには、5n±2型素数が偶数個、すなわち5n±1型素数が奇数個である必要がある。
5n±1型素数は、11,19,29 の3個なので、5を含まない方は、11,19,29 のうち奇数個を使用…(5)
(a) 片側に2,3,5が揃っている場合
(2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の3通り
・(2,3,5,7,13)と(11,17,19,23,29)→2372581は素数
・(2,3,5,11,29)と(7,13,17,19,23)→685609は素数
・(2,3,5,17,23)と(7,11,13,19,29)→563281=89×6329
(b) 一方に2と3、他方に5がある場合
(2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の2通り
・(2,3,7,13,29)と(5,11,17,19,23)→424429は素数
・(2,3,17,23,29)と(5,7,11,13,19)→163129は素数
(c) 一方に2と5、他方に3がある場合
(2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の4通り
・(2,5,7,11,29)と(3,13,17,19,23)→312061=313×997
・(2,5,7,17,23)と(3,11,13,19,29)→263749=73×3613
・(2,5,11,17,19)と(3,7,13,23,29)→217621=269×809
・(2,5,19,23,29)と(3,7,11,13,17)→177781=139×1279
(d) 一方に2、他方に3と5がある場合
(2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の4通り
・(2,11,13,17,23)と(3,5,7,19,29)→169681は素数
・(2,7,13,17,19)と(3,5,11,23,29)→168841=109×1549
・(2,7,17,23,29)と(3,5,11,13,19)→199501は素数
・(2,11,17,19,29)と(3,5,7,13,23)→237469=73×3253
従って、素数の平方数にはできない。
