・素数と合成数                             GAI 氏

 相異なる5以下の正の整数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c+d*e と表せる素数を求めよ。

 また、相異なる11以下の素数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c+d*e と表せる素数を求めよ。

 相異なる7以下の正の整数 a、b、c、d、e、f、g を用いて、a*b*c*d+e*f*g と表せる素数を
すべて求めよ。

 また、逆に、17以下の素数 {2,3,5,7,11,13,17} で、a*b*c*d+e*f*g と表せる合成数
をすべて求めて下さい。


 よおすけさんからのコメントです。(平成30年1月11日付け)

 相異なる5以下の正の整数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c+d*e と表せる素数を求めよ。

 a、b、c のうち2数が 2、4 のとき、

1×2×4+3×5=23 、3×2×4+1×5=29 、5×2×4+1×3=43

 d、e の2数が 2、4 のとき、

1×3×5+2×4=23

 よって、23、29、43

 相異なる11以下の素数 a、b、c、d、e を用いて、a*b*c+d*e と表せる素数を求めよ。

 a、b、c のうちいずれか1数が 2 のとき、

2×3×5+7×11=107 、2×5×7+11×3=103 、2×7×11+3×5=169(→不適)
2×11×3+5×7=101

 d、e のうちいずれか1数が 2 のとき、

3×5×7+11×2=127 、5×7×11+3×2=391(→不適) 、7×11×3+5×2=241
11×3×5+7×2=179

 よって、101、103、107、127、179、241

 相異なる7以下の正の整数 a、b、c、d、e、f、g を用いて、a*b*c*d+e*f*g と表せる素数
をすべて求めよ。


 相異なる7以下の正の整数 a、b、c、d、e、f、g :

 a、b、c、d のうち、3数が 2、4、6 のとき、

2×4×6×1+3×5×7=153(→不適) 、2×4×6×3+5×7×1=179
2×4×6×5+7×1×3=261(→不適) 、2×4×6×7+1×3×5=351(→不適)

 e、f、g の3数が 2、4、6 のとき、

1×3×5×7+2×4×6=153(→不適)

 よって、179

 17以下の素数 {2,3,5,7,11,13,17} で、a*b*c*d+e*f*g と表せる合成数をすべて求
めて下さい。


 a、b、c、d のうち1数が 2 のとき、

2×3×5×7+11×13×17=2641 、2×5×7×11+13×17×3=1433(→素数)
2×7×11×13+17×3×5=2257 、2×11×13×17+3×5×7=4967(→素数)
2×13×17×3+5×7×11=1711 、2×17×3×5+7×11×13=1511(→素数)

 e、f、g のうち1数が 2 のとき、

3×5×7×11+13×17×2=1597(→素数) 、5×7×11×13+17×3×2=5107(→素数)
7×11×13×17+3×5×2=17047(→素数) 、11×13×17×3+5×7×2=7363
13×17×3×5+7×11×2=3469(→素数) 、17×3×5×7+11×13×2=2071

 よって、1711、2071、2257、2641、7363


 GAI さんからのコメントです。(平成30年1月11日付け)

3×5×7+11×2=127 、5×7×11+3×2=391(→不適) 、7×11×3+5×2=241
11×3×5+7×2=179

 よって、101、103、107、127、179、241

 よって、1711、2071、2257、2641、7363

については、もう少し構成可能かと・・・。


 よおすけさんからのコメントです。(平成30年1月11日付け)

 a、b、c のうちいずれか1数が 2 のときが抜け落ちていました。

2×5×11+7×3=131 、2×3×7+5×11=97

 よって、97、101、103、107、127、131、179、241

 17以下の素数 {2,3,5,7,11,13,17} で、a*b*c*d+e*f*g と表せる合成数をすべて求
めて下さい。


について、書き直しです。

 a、b、c、d のうち1数が 2 のとき、

2×3×5×7+11×13×17=2641 、2×3×5×11+7×13×17=1877
2×3×5×13+7×11×17=1699(→素数) 、2×3×5×17+7×11×13=1511(→素数)
2×3×7×11+5×13×17=1567(→素数) 、2×3×7×13+5×11×17=1481(→素数)
2×3×7×17+5×11×13=1429(→素数) 、2×3×11×13+5×7×17=1453(→素数)
2×3×11×17+5×7×13=1577 、2×3×13×17+5×7×11=1711
2×5×7×11+3×13×17=1433(→素数) 、2×5×7×13+3×11×17=1471(→素数)
2×5×7×17+3×11×13=1619(→素数) 、2×5×11×13+3×7×17=1787(→素数)
2×5×11×17+3×7×13=2143(→素数) 、2×5×13×17+3×7×11=2441(→素数)
2×7×11×13+3×5×17=2257 、2×7×11×17+3×5×13=2813
2×7×13×17+3×5×11=3259(→素数) 、2×11×13×17+3×5×7=4967(→素数)

 e、f、g のうち1数が 2 のとき、

7×11×13×17+2×3×5=17047(→素数) 、5×11×13×17+2×3×7=12197(→素数)
5×7×13×17+2×3×11=7801 、5×7×11×17+2×3×13=6623
5×7×11×13+2×3×17=5107(→素数) 、3×11×13×17+2×5×7=7363
3×7×13×17+2×5×11=4751(→素数) 、3×7×11×17+2×5×13=4057(→素数)
3×7×11×13+2×5×17=3173 、3×5×13×17+2×7×11=3469(→素数)
3×5×11×17+2×7×13=2987 、3×5×11×13+2×7×17=2383(→素数)
3×5×7×17+2×11×13=2071 、3×5×7×13+2×11×17=1739
3×5×7×11+2×13×17=1597(→素数)

 よって、1577、1711、1739、1877、2071、2257、2641、2813、2987、3173、6623、7363、7801


 GAI さんからのコメントです。(平成30年1月12日付け)

 1877 は素数ですね。これらの合成数を素因数分解すると面白い。

 いろいろ組み合わせて調べていたら、

2*7*11+3*5=13^2 、2*5*13+3*7*11=19^2 、2*7*11*19+3*5*13*17=79^2

になることが興味を引いた。さて、素数10個 {2,3,5,7,・・・,29} を上手く組み合わせて、

 a*b*c*d*e+f*g*h*i*j

が素数の平方数にできるか?


 よおすけさんからのコメントです。(平成30年1月12日付け)

 43^2<1877<44^2 なので、1877を43以下の各素数で割ったところ、割り切れるものは見
つかりませんでした。改めて、17以下の素数 {2,3,5,7,11,13,17} で、a*b*c*d+e*f*g と表せる
合成数は、

 1577、1711、1739、2071、2257、2641、2813、2987、3173、6623、7363、7801

です。


 よおすけさんからのコメントです。(平成30年1月14日付け)

 素数10個 {2,3,5,7,・・・,29} を上手く組み合わせ、a*b*c*d*e+f*g*h*i*j が素数の平方数に
できるか?


についても、

 2×3×5×7×11=13×17×19×23×29

のように全通り書き上げてもいいのですが、これ以上の計算については、僕はもう体力がも
たないので他の方にプログラムつくってもらって公開した方がいいかと。


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年1月15日付け)

 素数10個 {2,3,5,7,・・・,29} を上手く組み合わせ、a*b*c*d*e+f*g*h*i*j が素数の平方数に
できるか?


 a*b*c*d*e と f*g*h*i*j のうち 2 を含む方は、4n+2型となるので、条件を満たすためには
他方は、4n+3型にならなければいけない。

 そのためには、4n+3型素数が奇数個である必要がある。

 4n+3型素数は、3,7,11,19,23 の5個なので、2を含まない方は、3,7,11,19,23 のうち奇数個を
使用…(2)

 a*b*c*d*e と f*g*h*i*j のうち 3 を含む方は、3 の倍数になるので、条件を満たすために
は他方は、3n+1型にならなければいけない。

 そのためには、3n+2型素数が偶数個である必要がある。

 3n+2型素数は、2,5,11,17,23,29 の6個なので、3を含まない方は、2,5,11,17,23,29 のうち偶
数個を使用、すなわち、3を含まない方は、7,13,19 のうち奇数個を使用…(3)

 a*b*c*d*e と f*g*h*i*j のうち 5 を含む方は、5の倍数になるので、条件を満たすために
は他方は、5n±1型にならなければいけない。

 そのためには、5n±2型素数が偶数個、すなわち5n±1型素数が奇数個である必要がある。

 5n±1型素数は、11,19,29 の3個なので、5を含まない方は、11,19,29 のうち奇数個を使用…(5)

(a) 片側に2,3,5が揃っている場合

 (2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の3通り

・(2,3,5,7,13)と(11,17,19,23,29)→2372581は素数
・(2,3,5,11,29)と(7,13,17,19,23)→685609は素数
・(2,3,5,17,23)と(7,11,13,19,29)→563281=89×6329

(b) 一方に2と3、他方に5がある場合

 (2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の2通り

・(2,3,7,13,29)と(5,11,17,19,23)→424429は素数
・(2,3,17,23,29)と(5,7,11,13,19)→163129は素数

(c) 一方に2と5、他方に3がある場合

 (2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の4通り

・(2,5,7,11,29)と(3,13,17,19,23)→312061=313×997
・(2,5,7,17,23)と(3,11,13,19,29)→263749=73×3613
・(2,5,11,17,19)と(3,7,13,23,29)→217621=269×809
・(2,5,19,23,29)と(3,7,11,13,17)→177781=139×1279

(d) 一方に2、他方に3と5がある場合

 (2)、(3)、(5)からあり得る組合せは以下の4通り

・(2,11,13,17,23)と(3,5,7,19,29)→169681は素数
・(2,7,13,17,19)と(3,5,11,23,29)→168841=109×1549
・(2,7,17,23,29)と(3,5,11,13,19)→199501は素数
・(2,11,17,19,29)と(3,5,7,13,23)→237469=73×3253

 従って、素数の平方数にはできない。



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