平成１６年度東京大学の前期入試問題において、興味ある問題が出題された。
問題を説明する前に、平方数の計算結果を眺めておこう。
１０2＝１００ 、 １１2＝１２１ 、 １２2＝１４４ 、 １３2＝１６９ 、 １４2＝１９６
１５2＝２２５ 、 １６2＝２５６ 、 １７2＝２８９ 、 １８2＝３２４ 、 １９2＝３６１
２０2＝４００ 、 ２１2＝４４１ 、 ２２2＝４８４ 、 ２３2＝５２９ 、 ２４2＝５７６
２５2＝６２５ 、 ２６2＝６７６ 、 ２７2＝７２９ 、 ２８2＝７８４ 、 ２９2＝８４１
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
上記の実験から、ある性質に注目すると、その条件に当てはまる数は規則的に出現して
いる様子が伺える。
この性質に着目した問題が、次の東京大学理科系（２００４）の第２問である。
十進数で表して３桁以上の平方数に対し、十の位の数を ａ 、一の位の数を ｂ
とおいたとき、ａ ＋ ｂ が偶数となるならば、ｂ は、０ または ４ であることを示
せ。
証明は、ｎ＝１０ｐ＋ｑ として、ｎ2＝１０2ｐ2＋２×１０ｐｑ＋ｑ2 となるが、
ａ ＋ ｂ が偶数で、２×１０ｐｑ の十の位が偶数であることから、
（ｑ2 の十の位）＋（ｑ2 の一の位）
が偶数でなければならない。
ｑ＝０、１、２、３、４、５、６、７、８、９ について、当てはまるものを探せば、ｑ＝０、２、８
よって、 ｂ＝０ または ４ となる。
計算の繰上げの処理を含む問題として、とても面白く、かつ中学生にも手が届く問題とい
う趣きである。小学校の算数を意識した良問と言えるだろう。
