・三日坊主確率                           GAI 氏

 ある事を毎日続けてやろうと決意しても長続きせず、途中で途絶えることを三日坊主とい
う。

 そこで、一回の試行で事象Aを起こす確率をpとし(熱意に通じる。)、この試行を独立に7回
行ったとき(大体1週間が妥当か。)、Aの試行が連続して3回以上続かない確率Pを求めた
い。(A,×,A,×,A,×,×や A,A,×,A,×,A,A も三日坊主に入れる。)

 特に、p=1/2 である場合の三日坊主確率Pはいかほどか?


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年12月15日付け)

AAA□□□□となる確率は p^3
×AAA□□□となる確率は(1-p)p^3
□×AAA□□となる確率は(1-p)p^3
□□×AAA□となる確率は(1-p)p^3
□□□×AAAとなる確率は(1-p)p^3
AAA×AAAとなる確率は(1-p)p^6

よって、三日坊主にならない確率は上記の合計(最後の1個は引く)

 p^3{1+4(1-p)-p^3(1-p)} = p^3(5-4p-p^3+p^4)

なので、三日坊主確率は、

 1-p^3(5-4p-p^3+p^4) = (1+2p+3p^2-p^3-p^4-p^5)(1-p)^2

 特に、p=1/2 の場合は、81/128


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