ソースを忘れてしまったのですが、興味深い問題を教えてもらい、解きました。たしか大学
入試問題です。

問　題　凸四角形ABCDがあり、AB=BC=5、CD=3、DA=7である。２本の対角線の成す角が

　　　　45度であるとき、この四角形の面積を求めよ。

＃答えはすごくきれいです。初等幾何で解けないものでしょうか・・・。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１２月１０日付け）

　初等幾何からは少し外れますが、とりあえず書きます。

　直線BDに関してCと対称な点をEとすると、△ABEは、AB=BE=5 の直角二等辺三角形。D

からBEに垂線DFを下ろし、DからAEに垂線DGを下ろして、DGとBEの交点をHとすると、

△FDHは、DF=FHの直角二等辺三角形、△EGHはEG=GHの直角二等辺三角形。

　AG²+DG²=(5-EG)²+DG²=49 から、EG²+DG²=9　を引いて整理すると、EG=1/

よって、EH=1なので、BH=4

従って、四角形ABCDの面積は、

　△ABD+△BDE=AB×BF÷2+BE×DF÷2=(5/2)(BF+DF)=(5/2)(BF+FH)=(5/2)BH=10


　moonlightさんからのコメントです。（平成２９年１２月１１日付け）

　「△ABEはAB=BE=5の直角二等辺三角形。」とありますが，何故そんなことが判るのでしょ
うか。（頭がうまく働いてないのかも。ご教示ください。）


　らすかるさんからのコメントです。（平成２９年１２月１１日付け）

　ACとBDの交点をP、ACとBEの交点をQとします。EはBDに関してCと対称な点なので、

∠DPE=∠DPC=45°従って、PE⊥AC

そして、∠BAC=∠BCA=∠BEP、∠AQB=∠EQPなので、△ABQ∽△EPQ

従って∠ABQ=∠EPQ=90°


　moonlightさんからのコメントです。（平成２９年１２月１１日付け）

　らすかるさん、ありがとうございます。なるへそ、少々面倒だったって事ですね。よくあるパ
ターンなんだろうけど判らなかった。もそっと経験値積まなあきませんね。すっきりしました。


　なつさんからのコメントです。（平成２９年１２月１１日付け）

非常に面白い解法で感激しました。ありがとうございます。。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年１２月１０日付け）

 以下の計算は、初等幾何の範疇でなきにしも非ずです。(解析幾何學)

   A=（0，0）、B=（5，0）　とすると、条件より、C、Dは、

   C={5/26 (29 + 5 Sqrt[17]), 5/13 Sqrt[1/2 (121 - 15 Sqrt[17])]}
   D={1/2 (9 + Sqrt[17]),  1/208 (59 Sqrt[2 (121 - 15 Sqrt[17])] - 3 Sqrt[34 (121 - 15 Sqrt[17])])}}

このとき、　△ABCの面積=25/26 Sqrt[1/2 (121 - 15 Sqrt[17])]

　　　　　　　△ACDの面積=5/52 (29 + 5 Sqrt[17])

　　　これらを足して、10 が答えです。


　ｔｅｔｓｕ さんからのコメントです。（平成２９年１２月１２日付け）

　こんなのいかがでしょう。

　B、DからACに下ろした垂線の足をそれぞれH、Iとし、AC、BDの交点をJとして、BH=HJ=x、

DI=IJ=y とすると、AH=CH=1/2ACで、三平方の定理により

　AD^2=(AH+HI)^2+DI^2={1/2AC+(x+y)}^2+y^2=7^2
　CD^2=(CH-HI)^2+DI^2={1/2AC-(x+y)}^2+y^2=3~2

　これらの差から、　2AC(x+y)=40

よって、　1/2AC(BH+DI)=10　・・・これ、すなわち、四角形ABCDの面積